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2015年センター試験数学2B 大問4

2015.03.25 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2Bの大問4を考えていきます~



ベクトルの単元の問題ですね~~
ここ最近の傾向としては空間ベクトルの方が圧倒的に出題率が高かったんですが
今年は平面ベクトルの問題になりました~

特に難問ということもなく普通の問題だったと思うので,
計算ミスさえしなければ完答も十分にできるレベルだと思います~
ただまぁどうしてもベクトルの大問は計算量が多くなりがちなので,油断は出来ません。
うまく初等幾何的発想なんかも取り入れながら挑むというのが望ましいスタイルです。

k1_20150324172736ad7.jpg


1辺の長さが1のひし形OABCが与えられています。
∠AOC=120°ということなので,対角線OBを引いて2個の三角形OAB,OBCに分割すると,
これらはどちらも1辺の長さが1の正三角形になっています
これはちょっと嬉しい設定ですね。

線分ABを2:1に内分する点Pを取り,∠POQ=90°となる点Qを直線BC上に取ります。
とりあえずこのような状況が与えられています~

まずは  を  の1次結合の形で表します。
これは基本ですね

 についても考察していきましょう~
Qは直線BC上の点なので,実数 t を用いて 
の形に一意的に表すことが出来ます~
 なので,  が成り立ちます~
この条件で立式することによって t に関する方程式ができるので,それを解けば t の値が得られるというわけですね taxi02.gif
ベクトルの問題では「直角」「垂直」「直交」などのキーワードが頻出ですが,それらと出くわしたら
即 「内積=0」 を思い出せるようにしましょう~

 (ただし  ) の値をあらかじめ計算しておけば,
 
の左辺はそのまま分配法則を使って展開して処理ができます。


k2_201503241727378ec.jpg


なお, t を求める計算では  によって  を消去すると,
下準備で必要な内積の値は  のみになります~ osake02.gif


k3_20150324172737f1f.jpg


 と  の値を内積計算で求めて,  を求めましょう~
これらが分かれば,△OPQの面積は底辺×高さ÷2で瞬殺です~ hana-ani03.gif
なお,もしも t の値が分からなくても  の方は解答できるので,しっかり解答しておきたいですね。


k4_20150324172738568.jpg
k6_2015032417273953d.jpg


基本的にベクトル押しでやって来ましたが,参考までにここまでの流れをもっとベクトルに頼らずにやってみましょう~
結局は平面図形の問題なので,ベクトルが苦手な人は初等幾何や三角比あたりでゴリ押せばいいわけです carrot02.gif

下図のように垂線の足H,I,Jを取ってみます~
△OHPに三平方の定理を使えばOPの長さは解決,
△AOJ∽△QOIから得られる線分比の関係式を使えばOQの長さも解決,
このときIQの長さも分かり,BC:CQの比も求められるので t の値も解決です~ c-08.gif


k5_20150324172738d34.jpg
    k6_2015032417273953d.jpg


もちろん t の値まではベクトルで出しておいて,OPとOQの長さは三平方の定理で出す,
みたいな融合技も有効です~~


さて,後半戦に進んでいきましょう~
線分BCを1:3に内分する点Rが登場してきます。
線分OR,PQの交点をTとすると,Tはこの2つの線分両方の上にある点なので,
 (rは実数) という形でも書き表せるし,
 (sは実数) という形でも書き表せる事になります。
両方の表示式をそれぞれ変形して  の1次結合の形にしたとき,
 が1次独立であることから表示の仕方が一意的であることがいえるため,
係数比較ができるようになります~
このことから r と s に関する連立方程式が作れるので,それを解いて r, sの値が求められます bye03.gif


k7_20150324172805f10.jpg



r と s の値が分かったということは,関連して線分比OT:TRとPT:TQが分かったということでもあります~
この比を使って△OPQと△PTRの面積比を求めようというのが最後の設問です~
線分比を読み取った後はもうベクトルの問題ではなくなっていますね。
面積比の問題も非常によく出てきますので強くなっておきましょう~

この手の面積比の問題で,基本の発想になるのが底辺分割の考え方で,
高さが共通の2つの三角形の面積比は底辺の比と一致するというものですよ~ beer01.gif
例えばAP:PB=2:1なわけですが,このとき △OAP:△OBP=AP:PB=2:1 になるというわけです。

今回は,面積比を線分比に置き換えて最後までいく方法もあるし,
2つの三角形の面積の値を直接求めちゃって比を取るという方法もあります。
△OPQの面積の方はそもそも中盤で既に求めてありますね。


まずはひたすら比で攻めてみます。

自分がいつも対角線分割と呼んでいる方法を使うと,
△OPQ:△PQR=OT:TR=7:2 が成り立つので,これと △PRT:△PQR=1:3 を組み合わせるともう解決っすね


k8_20150324172806ca8.jpg


△OPQを2つの三角形OQT,OPTに分割してみます。
△OQTの面積を  とおいて, と  がそれぞれ  の何倍であるかを計算してみるというのも
割と分かりやすいのではないでしょうか~


k10_20150324172807a50.jpg



今度は直接面積を求める方法を使ってみます~


k9_20150324172806cd4.jpg



さてここで,この後半戦もベクトルを出し惜しみして初等幾何でゴリ押す方法を考えてみます~~ been.gif
要はOT:TRとPT:TQが分かればいいわけですよね。

さっきの面積比の考え方を利用してみましょう~
面積比を線分比に直すという作業はさっきやりましたが,逆に線分比を面積比に直していきます~ 8269809.gif

△OPQ:△PQR=OT:TR, △OPR:△OQR=PT:TQ なのでこの面積比を求めればいいですね。
△OABの面積を S とおいて,いろんな三角形の面積が S の何倍か出していって
その足し引きで計算していきます~

k11_20150324172807041.jpg



もういっちょ,相似+メネラウス推しでやってみます~ 8261165.gif

ここで2直線OR,ABの交点をDとします。
OCとADは平行なので△OCR∽△DBRになることに着目して PB:BD=1:1 であることが導けます。
このとき△BPQと直線ODに関してメネラウスの定理を使って TP:TQ が分かり,
更に△DPTと直線BQに関してメネラウスの定理を使って DR:RT が分かります。
OR:RD の比と合わせると OT:TR も解決です~ 8190575.gif


k12_20150324172808324.jpg

  k13_20150324172831e6c.jpg



最後に,冒頭からラストまで座標を導入して計算でゴリ押す方針を試してみます~
ベクトルも初等幾何も苦手だけど計算力には自信がある人の場合,座標を使って攻めるというのも悪くない手です 8257410.gif
途中過程で妙に汚い値が出てくることもしばしばあるだけに,本当に合っているのか不安が常に付きまとうのが玉に瑕です~

今回はひし形OABCの対角線の交点を原点とし,この対角線が軸に乗っかるように座標を取ってみます~

k14_20150324172832e80.jpg
k15_201503241728333eb.jpg





   
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