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2015年東大前期入試理系数学 大問1

2015.03.27 18:03|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大前期入試の理系数学大問1を眺めてみます~

問題はこちら~ げろ
tok1.jpg


去年は線分の通過範囲の問題がありましたが
今年は放物線の通過範囲が出題されました~

a>0 のとき,放物線 C の方程式を



という2次関数で与えます~
a が正の実数全体を動くとき C の通過範囲がどうなるかというお題です~

この手の問題はベタな解法としては大雑把に2つのグループに分かれると思います~
俗に「順像法」とか「正像法」とか,大数界隈では「順手流」と呼ばれたり,あるいはファクシミリの原理などと
呼ばれたりするような方法が1つ目。
第二に,「逆像法」とか大数界隈で「逆手流」と呼ばれたりする方法です~ buta.gif


まずはこの後者の逆像法から考えてみたいと思います~
この発想は, xy 平面上の点 (X,Y) が答えの領域に含まれるためには
X,Y がどのような条件を満たせばよいのかを調べることで問題解決を図る
ものです。

この際, 「点 (X,Y) が答えの領域に含まれる」 という条件を
巧みに別の表現に言い換えるということが要求されます~

 「点 (X,Y) が答えの領域に含まれる」 
⇔「  を満たす正の実数 a が存在する」

⇔「 a に関する方程式  が少なくとも1つ正の解を持つ」

こういう見方ができなければいけません~
最後に出てきた a の方程式ですが,これは  のときは2次方程式なので,
2次方程式の解の配置問題に帰着できます dog_happy.gif
一方で,  のときは2次方程式にならないので,判別式などの議論には持ち込めません。
というわけで,  が0か否かで場合分けして論じなければいけません~


m1_201503271523007bc.jpg

m2_20150327152300d30.jpg


 の場合ですが,解の配置問題への対処としては,
主に左辺の2次関数のグラフの配置に着目して条件式を立てる方針と,
解と係数の関係を利用して条件式を立てる方針とがあります。

グラフで攻めるとすると,  が正か負かによって下に凸か上に凸かが変わってきて
場合分けが必要になるので面倒です。
そこでまずは解と係数の関係を使って攻めてみることにします~
正の解を少なくとも1個持つということは,「1個持つ」「2個持つ」のパターンがあり
やはり場合分けが必要になりがちですが,逆に「正の解を1個も持たない」条件を考えると少し楽になります。
これは「2解がともに0以下」という条件に言い換えることが出来ます。
2解 α, β について,「α,βは実数」+「α+β≦0」+「αβ≧0」が成り立つということなので
解と係数の関係を利用して立式ができるようになるというわけです。
出てきた条件を「α,βは実数」の条件から除いてやればいいです~ eto_mi.gif


m3_20150327152301e33.jpg



あとは図示ですね。
 というのがどういう領域になるか分かるでしょうか~
境界が双曲線  になるのはよいと思いますが,この領域は境界より内側なのか外側なのか
という点が次に出てきます。
 ということは,例えば   とか    とか   とか
  とかだったりするということなので,そういう曲線がある領域ということは,
境界の双曲線の内側の方ということになりますね~



m4_20150327152302449.jpg


赤線部分は境界を含むので注意しましょう~ eto_saru.gif




グラフを使ったアプローチも考えてみましょう~
  とおいて,  ab 平面上で b=f(a) のグラフを考えます~
判別式の符号や,軸の位置やある特定の a の値における関数値の符号などに着目して
条件式を立てるのがスタンダードですね。
X, Y の値によらず常に f(0)=1 なので少し考えやすいです~
ただ,下に凸の場合と上に凸の場合があるので注意が必要です hiyo_en2.gif

 のときはグラフは下に凸です。
判別式(または最小値)の符号と軸の位置で条件式を立てます~
 のときはグラフは上に凸です。
このときは自動的に a 軸の正の部分と共有点を持ちます~


m5_2015032715230201c.jpg


なお,対象の2次方程式は    と変形できるので,
 とおいて考察すると
グラフが下に凸の場合に限定できるようになります~ isona.gif


 のときは解の公式を使って a の値を X,Y の式で表してみる手もありますね。



の2つですが,正の解を持つための条件は 「根号の中身≧0」+「大きい方の解>0」 です~ ipon.gif
の符号によって上記の2つのどっちが大きい値かが入れ替わるので注意です。


m6_2015032715230391f.jpg




ここまで「逆像法」のアプローチで攻めてみましたが,
今度は「順像法」のアプローチを試してみることにしましょう~

例えば x=k を固定して, (k,y) の形の点で答えの領域に含まれているものはどれくらいあるか
y の範囲を求めてみる
ような発想です。
答えの領域を直線 x=k でズバッと切ったときの断面がどうなっているかを調べて,
そのデータをかき集めて領域の全体像を作り上げる,という性質のものなのでファクシミリの原理
などとも呼ばれるわけですね~ kaeru_en1.gif



を a の関数とみなし,正の実数全体を定義域としたときの y の取り得る範囲を求めます~
その y の範囲が答えの領域を直線 x=k で切ったときの断面に相当するわけです。
この y の範囲の様相は  の符号によって変わってくるので場合分けが必要です~


m7_20150327152319cea.jpg

m8_20150327152320c01.jpg








       
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