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2015年東大前期入試理系数学 大問2 その1

2015.03.30 02:12|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大前期入試の理系数学第2問を眺めてみます~

問題はこちら~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189
tok2.jpg


確率分野からの出題です~
さいころを振ったときの出目によって得られる文字列に関して問題に答えるという趣旨のようです~

さいころを振って1,2,3のいずれかの目が出たら「AA」,4の目が出たら「B」,
5の目が出たら「C」,6の目が出たら「D」という文字列が得られ,
さいころを連続して n 回振って,得られた出目に対応する文字列を順に書き並べていって
長い文字列を形成していくようです
例えば5回振って出目が順に1,4,2,3,6だったとすると,
文字列としては「AABAAAAD」が対応することになります。

1~3の目が出たときは2文字加えられるため,さいころを n 回振ったときに出来上がる長い文字列は
必ずしも n 個の文字で形成されているとは限らないわけですね。
つまり左から n 番目の文字が右端の文字であるとは限らない
それがこの問題の厄介なところだと思います~ akaname.gif
上の例では,5回振って8文字による文字列が作られています。

最初の設問は,さいころを n 回振ったとき,左から n 番目の文字が「A」である確率を求めるものです~
振る回数が3回とか5回とか具体的な数値で与えられず, n 回という一般の状況を考えるような問題は
東大ではよく出てきますね。
こういった「 n 回」「 n 番目」「 n 秒後」「 n 枚」などのようなものが出てくる問題への有効な対処法は
確率漸化式を立てて攻めるというものです~ dog_happy.gif

n 回目までの操作の結果が (n+1) 回目の操作の結果に分かりやすい影響を及ぼす場合,
容易に漸化式が立てられたりします。
その漸化式を解いて一般項を出すことで問題を解決できます~


さて,今回の問題も例外ではなく,確率漸化式を使って解いていこうと思うのですが,
どのような確率を文字でおくかという方針立てについては大きく2つに分かれそうです。
左から n 番目の文字が何かであるかによって複数の確率を文字でおき連立漸化式を立てる
素直に左から n 番目の文字がAである確率のみを文字でおき隣接3項間漸化式を作る
という2パターンです~

まずは前者について考えていきます~
左から n 番目の文字が何であるかで分類したときに,「A」であるもの,「B」であるもの,
「C」であるもの,「D」であるものの4種類が出てきますね。
ただ,「A」であるものは更に2つに分かれます。
「A」は必ず『AA』というかたまり単位で増えていくので, n 番目の「A」が
『AA』の左側の「A」なのか右側の「A」なのかという区別によって二分されるということです~

左から n 番目の文字が,左「A」,右「A」,「B」,「C」,「D」である確率をそれぞれ
 とおいてみます~
最終的に求めたいのは  ということになりますね~ curry.gif

さいころを1回振ったときに「4」,「5」,「6」が出る確率はそれぞれ   なので,
対称性から常に  が成り立ちます~
複数の確率を文字でおくときはこうした対称性にも着目していかないと
無駄に文字が多くなり処理が大変になりますよ~
というわけで基本的に  の3つに着目していけばいいわけですね~
 が出てきたら全て  に置き換えてしまえばいいです clover.gif

これらの確率どうしの間に成り立つ関係式を求めていきますが,
最も簡単に分かる関係式はやはり 全確率=1 ではないでしょうか~

n1_20150329230801d7e.jpg


ここからはさいころを (n+1) 回振ったときの確率を考察していきます。
はじめに (n+1) 回振って左から (n+1) 番目の文字が左「A」である確率  
について考えてみましょう~

このような状況が起きるためにはさいころを n 回振った時点で左から n 番目の文字が
どうなっている必要があるでしょうか。
それが左「A」だったとすればその次にくるのは必ず右「A」になるわけですから不合理です。
一方で n 文字目が右「A」,「B」,「C」,「D」だったならば,
その次の (n+1)回目の試行で1~3の目が出れば確かに (n+1) 文字目は左「A」になるので
このことを式で表現すれば  が  を用いて表されます~ eto_i.gif


n2_20150329230801430.jpg


同様に (n+1) 文字目が右「A」である場合も考えてみます。
これは n 文字目が左「A」だったという状況以外では起き得ないことです~

n3_20150329230802e14.jpg


これで確率についての関係式が3本得られました~
この3本を駆使して答えまで持っていけます eto_mi.gif
(n+1) 文字目が「B」や「C」や「D」の場合についても上と同様に関係式を作ることが出来ますが
敢えて用意しなくても大丈夫です~

邪魔な確率を消去して単純な漸化式へ移行したいと思います。
ここでは数列  にターゲットを絞ってみます~
この確率が求まれば条件式3番から  も求められますね。
 とする際,「 n≧2 のとき」という前提を設けておきましょう~


n4_20150330001716514.jpg


なお,   という2項間漸化式は,上では余計な確率の消去によって
得られたものですが,はじめから数列  だけに着目して得ることも可能です~
(n+1) 番目の文字が左「A」であるためにはさいころを n 回振った時点で左から n 番目の文字が
左「A」であってはいけなかったので,
『 n 番目が左「A」以外である』かつ『 (n+1) 回目に1,2,3のどれかの目が出る』
という確率を考えればよいことになるので,

が得られるというわけです~ kaeru_en4.gif


さて,この方針では n 文字目が「A」であるものを,
その「A」が左「A」か右「A」かで分けて確率を考えたので,(2)が非常に解きやすくなります。
(2)で求めたいのは
『 (n-1) 回振った時点で左から (n-1) 文字目が右「A」』かつ『 n 回目に4の目が出る』
という事象の確率なので,それはもう   を計算するだけで終わってしまうんです~


n5_201503292308035a4.jpg


今からやる第2の方針では,はじめから左から n 文字目が「A」である確率  のみを考えるので
スッキリしていて良いという利点はあるのですが,
その代わり(2)で(1)と同じような操作をもう1回やらなくてはならなくなる面倒臭さがあります~

こちらの方針では,1回目の試行で「AA」がやってくるかそれ以外がやってくるかという点に着目します
さいころを (n+2) 回振ったときを考えましょう~
左から (n+2) 番目の文字が「A」 である確率  を  を用いて表してみます~

1回目の試行で1~3の目が出て「AA」がやってきたとします。
ここで,3文字目から再スタートだと思ってそこから n 文字目に「A」が来る確率は 
 に等しいのは分かるでしょうか~
よって,1回目に「AA」が来た上で (n+2) 文字目が「A」である確率は  になります。
一方で,1回目に「A」以外の文字が来た場合を見ると,2文字目から再スタートしてそこから (n+1) 文字目が
「A」である確率は  に等しく,
したがって,1回目に「A」以外が来た上で (n+2) 文字目が「A」である確率は なのです~ m_0001.gif

このことから,  という漸化式が得られることになります~

 という条件のもとでこの漸化式を解けば終了です~ kuma_fly.gif


n6_201503292308039b7.jpg
n10_201503292309142f1.jpg
n7_20150329230913842.jpg
n8_20150329230913242.jpg


今回出てきた隣接3項間漸化式は  の形のものなので,
上記の解法のように  の形に変形ができて
数列  の階差数列は公比 p-1 の等比数列になります。
そのことを利用して階差数列に関する公式を持ち出すことで  の一般項が求められますが,
より一般の対処法として2次方程式  の解  を利用して
数列  がともに等比数列になることに着目して一般項を出すことも出来ますね~ kudan.gif




(2)も同様の方針でいきます~
n≧2 として,さいころを n 回投げて左から (n-1) 番目が「A」で n 番目が「B」の確率  というものを考え,
この確率に関して隣接3項間漸化式を立てていきます~

やはり最初に「AA」がくるか「A」以外がくるかで場合分けしていきますが,
考え方はさっきと同じなので得られる漸化式もまったく同じ形で   です~
これを  のもとで解けばOKです~

n≧2 で定義された数列なのでその点に注意してくださいね。


n9_20150329230914833.jpg
n11_201503292309151b5.jpg





ここまで漸化式を用いた解法を2通り挙げてみましたが,
もしこれを漸化式を用いずに考えてみたらどうなるでしょうか~
次回はその考察を1つやってみたいと思います~
意外と厄介です~ kojika.gif






     
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