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2015年東大前期入試理系数学 大問2 その2

2015.03.30 12:25|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きです~~

問題はこちら~ ぺんぎんmini
tok2.jpg


前回: http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-232.html


確率の問題でしたね~
さいころを振る回数が n 回というパターンでしたので,
漸化式を使って考えるのがスタンダードだ,ということで前回は漸化式を立てて解くということを行いました~

しかしまぁ,そうなると漸化式を使わなきゃ解けないのかい?
っていう話にもなってきますので,今回はこの問題を漸化式を使わずに解いてみたらどうなるか
という一例を挙げてみる趣旨でやってみます~

(1)はさいころを n 回振って得られた文字列の左から n 番目の文字が「A」である確率を求める設問です。


前回を思い出して欲しいのですが「A」には左「A」と右「A」というものがあり,
n 番目が「A」だという場合,それが左右どちらの「A」なのかという問題が生ずるのでしたね!
したがって,下の説明の『ア』,『イ』の2パターンそれぞれの確率を求めて足せばいいことになります~ wink02.gif

『ア』のタイプを考えることにすると,最初の (n-2) 文字の中に「AA」のかたまりと「A」以外の文字が
それぞれ何個あるか
ということで更に場合分けが必要になります。
なお,「B」「C」「D」はどれも等確率で並ぶのでこれらは集約してしまって,さいころを1回投げるごとに
「AA」がくる確率  と「A」以外がくる確率  の2つを考えると簡単です。
(n-2) 文字の中に「AA」のかたまりが何個並べるかという点は n の偶奇によって変わってきますね。
これは『イ』のパターンでも同様です。
そのため, n が偶数のときと奇数のときとに分けて話を進めてみることにします~

はじめは n が偶数のときから考えていくことにします~ tawa02.gif

『ア』のパターンについて,左から n 番目までの中に「AA」のかたまりが k 回やってくるとすれば,
k の取り得る範囲は   です。
k を固定すると,左から (n-2) 番目までに含まれる「A」以外の文字の個数は (n-2k) 個
ということになります。
したがって,左から (n-2) 文字までに「AA」が (k-1) 個,「A」以外が (n-2k)個並んで
その上でその後に「AA」が続く確率
を考えればよく,これは反復試行の確率の考え方で計算ができます~

そしてその確率を k について和を取れば『ア』パターンの確率が得られたことになります~

n12_20150329230916116.jpg


『イ』パターンについても同様に考えることが出来ます~


n13_20150329231100741.jpg


よって求める確率は『ア』と『イ』の確率の和なので,



と表されます~
ここで,2項係数の性質  および  
を使って上の和をちょこっとだけ変形して少しスッキリした形にしてみましょう~ takenoko03.gif


n14_20150330033921185.jpg


多少は見た目がスッキリしたような気はしますが,何だかまだよく実体が分からない形ですねー
第一,前回求めた形  と随分と違っています~
この2項係数を含んだ和が,更なる変形で今挙げた前回に得た答えと一致するということでしょうか
前回の解答で出てきた漸化式に代入して,確かに漸化式の解になっているということを検証する
というのでもいいかもしれませんが,それだとその漸化式の登場がやや天下り的な感じがするので
もう少し場当たり的な方法も考えてみたいです~

今回の等式を確かめるために

が成り立つことを検証してみたいと思います~ kaeru_en1.gif

2項係数を含んだ和の等式というのは,割とよく出てきますよね。代表例としては



という関係式があります。これは例えば  を二項定理で展開し x=1 を代入することによって解決します。
それとは別に組合せ論的な方法での証明もありました。

今回の和も同じように示せるような気が一見するのですが,意外に厄介だったりします~
二項係数の添字がバラバラだからです
そうなってくるとちょーっとばかり工夫を施さないとうまくいきません。

問題の答えが二項係数を含む和の形で出てきて,
しかも二項定理の利用ですぐに簡潔な形に直せるなら,
簡単なものに直して「答え」の形とする風潮が割かしあるんですが,
今回のくらい厄介な形だと二項係数を含む和の形で答えを出した受験生がいたとしたら
そこ止まりで果たしてマルになるんですかね?


さて,とりあえず上の等式の証明を試みてみることにします~
この和は  の形の項の和になっています。
この項は何に等しいかなあ~ kaeru_ang3.gif というのを考えてみてほしいわけですね。
例えば  の展開式における  の係数に等しいですね。
でも指数が k だところころ変動してしまうのでちょっと嫌だなぁ,と。
そこで代わりに  の展開式の  の係数だという見方をしてみましょう~
これだと k の値に依存しません。
こうしてみると,  って 



の展開式の  の係数と一致していることになりますね。
更に言ってしまうと上の多項式の和に n 次未満の多項式を加えても  の係数は変わらないので,  は



の展開式における  の係数と実は等しい
んです~ rabi_love.gif

等比数列の和の公式から,この和は  
と変形できますよね。
分数の形にはなっていますが,分子は x+1 と 2x-1 を因数に持つので実際は多項式になっています。
分子を分母で割ったときの商がちょうど元の等比級数で表されてる多項式です~
この商の  の係数をもう1通りの形で表したいわけなんです

商自体は 2n 次の多項式になっているのでそれの n 次の係数と言われても
どうやって取り出してこようか悩ましいですよね。
ここで,高校数学の範囲からはちょっと逸脱しますがTaylor展開の一意性を利用すれば
割と簡単にこの障害を乗り越えることができます~
用いるのは,  における  と  の一般二項展開です。
べき級数どうしの積の形にしてしまえば, n 次の項の取り出しも容易になります~


n15_20150329231102784.jpg
n16_20150329231102bb8.jpg



これでなんとか確率が前回求めたものと一致するようになりました~ s2_sum_beach.gif

今度は n が奇数の場合でも同じようにやってみましょう~
n=1 のときと n≧3 のときで分けておくとよいです。
n=1 のときは確率は  ですね。
n≧3 のときは大体さっきと同じで,はじめに求める確率が二項係数を含むの和の形で表されるので,
それを前回求めた解の形まで変形していきます。


という和が出てきます。
証明方法はさっきのと大体一緒で,最後の詰めの部分だけ偶奇の違いによる差異が出てきます tanuki.gif



n17_20150330031501622.jpg
n18_20150329231103d8a.jpg


n19_201503300315013b8.jpg



これで無事に前回の結果と一致しました tankoro.gif
漸化式で攻めるよりだいぶ大変ですね。
解法のチョイスを誤ると大変になるぞ,の一例となりそうです。

(2)も同様の方針で取り組むことが出来ます~
「え~~また新たな二項係数がらみの和が出てくんの~~!?もうやだよ~
と思ってしまいたくなるところですが,
運良く(1)で使った  だけで事足ります~

n の偶奇で分けるという部分は(1)と同じですが,
それぞれがパターン『ア』,『イ』に分かれていた(1)と違い,(2)では1パターンに限定されます。
このため,(1)で下準備が整ってしまえば,
思いのほか簡単に答えまで到達できます~ teng.gif


n20_2015032923115315a.jpg
n21_2015032923115371f.jpg


確かに割とあっさりめでしたね。
n が奇数の場合も同じようにやってみましょう~


n22_20150329231154952.jpg






というわけで無事に終了です~ tyou.gif






   
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ジャンル:学校・教育

コメント

No title

文系の私には理系と名が付くだけで数学恐怖症です。
へびちゃんに足が付いていて不思議な感じですね。

No title

>CHIさん

いわゆる蛇足ってやつですv-531

最近ヘビに足が生えてる絵を見掛けたので便乗しました~
非公開コメント

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