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2015年東大前期入試理系数学 大問3

2015.04.13 16:11|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東大前期入試の理系数学第3問をみていきます~

問題はこちら~ 算数mini
tok3.jpg


数3の微積の問題です~
接する2曲線と回転体がテーマになっています。
東大といえば空間図形の問題はとても頻出ですが,今年はここで出てきました~

特に物珍しい特徴があるわけでもない標準的な問題だと思うので
解ききっておきたい大問かなーという気がします~

x>0 において2つの曲線  と  を考えます~
a は正の実数, p は正の有理数です。
「この2曲線が共有点を1個だけ持つ」という条件がついています。
(1)ではその条件のもとで a の値と共有点の x 座標を p の式で表すことが求められています~

どういう状況なんだろう~と,とりあえず絵でも描いてみることは大事なことです。
p が1より大きいか等しいか小さいかによって  のグラフの概形が変わってきます
具体的に言うと,凹凸の部分が変わってきます。

p>1 のときは下に凸, p=1 のときは直線, 0<p<1 のときは上に凸です~
「2曲線が共有点を1個だけ持つ」という状況はこの3つのケースのうちどれで起きるのでしょう。
結果としては,いずれの状況でも起きます~
そしていずれの状況でも a の値も共有点の座標も同じのが出てきてくれるので助かります。

p>1 のときはこういう状況です。

o2_20150413130159017.jpg

ただ1個の共有点というのが共通接線の接点になっています。

p=1 の場合はこんな感じです。

o1_20150413131439a5b.jpg

やはり接しています。
そして 0<p<1 の場合はこう。


o3_201504131302005e8.jpg

いずれの場合も2曲線が接している場合になるようです eto_ushi.gif
ということは,この2曲線が接点を共有する共通接線を持つ条件から答えが出せそうですね。
ただ,「2曲線が共有点を1個だけ持つ」ことが今回の2曲線についてはたまたま
「2曲線が接している」ことと同値ですが,どんな2曲線でもこうなるわけではないですよね。
それゆえ,なぜ今回の2曲線ではそれでいいのかという部分について言及しておくべきでしょう。
図を描いて「図がこうなるときなので」程度に触れて流してしまうというのは若干アバウトな気がするし,
言葉で説明するのもビミョーにその仕方が難しいですね。
そこで,共通接線に着目して解答を進めるよりは別の角度から攻めた方が答案は書きやすくなると思います~ hiyob_uru.gif

「2曲線が共有点を1個だけ持つ」ことを「方程式の実数解が1個のみ」という条件に言い換えることにします~
 という方程式が x>0 の範囲でただ1個の解を持てばよいですね。
文字定数を含む方程式の解の個数を考察する問題では文字定数の分離という作戦がスタンダードですね kaeru_en1.gif
つまり今回で言うと,  と変形して,曲線  と直線  が
共有点を1個のみ持つための条件を探っていきます~

あとはもう関数  の増減を調べてグラフでも描いてみれば解決してしまうので
計算ミスや a>0 の条件に気をつけて処理していきましょう~
問題文によると,  は認めても良いそうです。

o4_20150413130201482.jpg


定数分離を行わずにも関数  の増減を調べてグラフを描き,
x 軸との交点が1個になるような条件を考えるという発想でも良いかと思います~

今回の問題では (最小値)>0 によって条件が立式できます~ korobo.gif



o5_20150413130201662.jpg
o6_20150413130202611.jpg
o7_20150413130230d47.jpg
o8_20150413130230ce2.jpg


一応,共通接線に着目しても答えの値が出てくることを簡単に確認してみます~
接点の x 座標を t とおいて, x=t における2曲線の接線をそれぞれ求め,
それが一致すると仮定して係数比較をするという手で計算ができます~

o9_2015041313023183a.jpg
o10_20150413130231d96.jpg




(2)を考えてみましょう~
2曲線と x 軸とで囲まれる部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めます。
回転体の体積は断面積の積分で計算できますね kitune.gif

下図の(緑+赤)部分の回転体から(赤)部分の回転体を引けば体積が出てきます。
下図は p>1 の場合の図ですが, 0<p≦1 の場合でも同じ計算式になります~

積分計算自体は普通のものなので,部分積分のミスに気をつけて計算しましょう~


o11_2015041313023242e.jpg


この形で答えを出しておけば(3)は瞬殺ですね。
(3)は体積が 2π になるのはいつ?という設問なので,
上の答えの第1項が0になるときを考えればいいわけです~ kuma_fly.gif



o12_20150413130232d17.jpg




バームクーヘン積分の考え方で計算すると部分積分は1回で済むようです~
バームクーヘン積分は結果的に側面積の積分で体積を計算するような考え方ですね。

o16_20150413130258881.jpg
o15_20150413130259ac5.jpg




    
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