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2015年東大前期入試理系数学 大問5

2015.06.07 13:11|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大入試理系数学の第5問です~

問題はこちら~ わんちゃんmini
tok5.jpg


二項係数をテーマとした整数問題です~~
今年の全6大問の中でも一番話題性があったのがこの第5問ではないでしょうか~
なお,99年にも二項係数をテーマとした類題が出題されています~

 が偶数になる最小の m を求めるというのが今回の問題です。
非常にシンプルですね~ akaname.gif

 と順番に調べていって答えを見つけるというのが
最も確実な方法なのでしょうが,いつそれが出てくるのが分からないだけに怖いですね。
割と序盤に出てくれるのならいいのですが,  くらいまで偶数が出てこなかったりするかもしれないので
安易にこの作戦はとりたくないですね~

ところで,今年の冒頭に「2015」という数字は



という関係式を満たしていることについて触れました~
 であるということですね。
2^5=32 だけ抜けている惜しい式なのですが,この32が抜けているということが
実はこの問題の強力なヒントになっています~
 が32の倍数になるわけです。
そして更に,

は64の倍数であることが,後で効いてきます buta.gif


求める m の値は実は m=32 です。
結果論的に言えば割と序盤で偶数になってくれるので 
m=1 から順番に調べていくという作戦でもなんとかなりますね。

ではその2進数的な話を頭の片隅に置いておきながら問題を考えてみます~



なので,分子の整数を素因数分解したときに現れる2の指数が,
分母の方の2の指数より大きくなるタイミングを見つければ良いということになりますね dog_happy.gif

自然数を小さい順に並べていったとき,2の倍数は1つおきに現れ,4の倍数は3つおきに現れ,
8の倍数は7つおきに現れ,以下,16や32の倍数なども同様です。
また,2016は32の倍数だったので,そこから1ずつ自然数を遡っていくと
mod 32で考えると-1,-2,-3,......となるので,結果として
自然数 m と 2016-m は同じタイミングで偶数,4の倍数,8の倍数,16の倍数,32の倍数になります。
しかしながら64の倍数になるタイミングはズレます。
mod 64 で考えると2016は0ではなく32と合同だからですね~
そのため,m=32でようやく 指数の2の数にズレが生じます~


a2_201506071001103e2.jpg

a3_20150607100110980.jpg



さて,  と順番に調べていく作戦を取ろうかなと思ったとき,
本当に m=1 から検証するのではなく,答えになり得る m の値がある程度絞り込めていれば
だいぶ検証は楽になるはずです。
答えの m の値は「2016の約数であって 2016÷(奇数) の形で書けるもの」であるという絞り込みが
実は可能です。 2016=32×63 なので,この条件を満たす m の候補は最小で 2016÷63=32 です~
結果,この32が答えにもなっているので,  が偶数であることが確かめられたらそこで話は終わってしまいます~ eto_mi.gif

この絞り込みは,答えの m について,  が偶数にならなければならないという条件が
出てくることに由来します~


a4_20150607100111720.jpg

a5_20150607105947ea0.jpg




さて,ここまでは割と  
という表示式にこだわった考察を続けていましたが,ちょっと方針を変えてみましょう~

二項係数と二項定理は切っても切れない関係がありますが,



という展開式に今度は着目してみます~
小さい方から係数を見ていったときに,初めて偶数係数になるのが何次の項か見ればよいのです~ hamster_2.gif
係数の偶奇が分かれば十分なので,偶数なら0,奇数なら1で表せるように
便利な mod 2 の世界で多項式を考えれば良さそうです~
差が偶数係数の多項式になるような2つの整数係数多項式 p(x), q(x) は合同であるというルールを敷くと
例えば,  


のように,

が成り立ちます。

このことを利用して計算してみましょう~


a6_2015060710011264a.jpg



ちなみに,二項係数が奇数か偶数かという点に関しては,実は面白い事実があります~
おなじみパスカルの三角形において,
奇数が現れるところを下図のように線で結んでいくとなんとシェルピンスキーのギャスケットが現れます~ kaeru_en1.gif



a1_201506071258538e0.jpg
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