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2015年東大前期入試理系数学 大問6

2015.07.06 00:01|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期東大入試の第6問をみてみます~

問題はこちら~ らっこ
tok6.jpg


積分と極限の融合問題です~

(1)で積分の評価を与えて,
それを利用してはさみうちの原理を使って極限を出すという方向性自体は
割と分かりやすいのではないかと思いますが,
具体的にどういった計算でそれが実現できるかという点がちょっと難しいですね~ aobara.gif

(1)の定積分は積分区間が [-1,1] になっていますが, g(x) の定義から
実質的には [-1/n,1/n] での積分です。


b1_20150705232057294.jpg




が成り立つことはすぐに確認できます。
p・g(nx)≦g(nx)f(x)≦q・g(nx) に着目して定積分の大小にもっていけば片付きます~ eto_i.gif



b2_2015070523205830f.jpg


(2)では h(x) という新しい関数が登場してきます。
これをどのように(1)の話に繋げればよいのか。それに気付けるかどうかが勝負の分かれ目です。

実は  になっているのですが,見抜けたでしょうか。
それが見抜ければ,部分積分を利用して(1)の定積分の形に移行できるようになります~ kaeru_en1.gif



b3_20150705232059132.jpg


b4_20150705232059b72.jpg



ここまでもってこれれば,あとは    とおいて(1)にあてはめるんだろうな
という予感が漂ってきますね。
このとき, f(x) は単調増加関数なので,区間  [-1/n,1/n] の両端点での関数値で
p と q に相当する値が得られます~ m_0054.gif



b5_201507052321007fb.jpg




b6_201507052321012c6.jpg




   
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