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2015年京大前期入試理系数学 大問1

2015.07.07 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期京大入試の理系数学第1問を見てみます~

問題はこちら~ 箱ドットおにおん2mini
kyo1.jpg


積分分野の回転体の体積がテーマの問題ですね~
準備運動にはちょうどいいくらいの決して難しくない問題ですので確実に得点しておきたいところです~

  の範囲において,2曲線  ,  
が囲む領域を x 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を出す問題です。

まずはどのような図形を回すのかを把握しなければいけません~
2曲線どちらも概形を知るのはなんら難しくないので,そこはラッキーです。
2曲線の交点を求めてみましょう~

一般に,  という関係式が成り立つとき, A と B の間にどのような関係式が成り立つでしょうか。
何も考えずに単純に A=B としてしまうと誤りです~
一般解としては,周回違い,つまり 2π の整数倍だけズレたものも考えなくてはならないので
 ( k は整数) とすべきですね。
ただ,  であるため,    ( ℓ は整数)
という状況も考えなければいけません~



c2_20150706183007fc2.jpg


交点の x 座標を知るにあたっては,上記の方法でなくても和積公式を使うような方法もあります。


c3_201507061830071b2.jpg


c1_201507061830060f7.jpg


図の緑色部分の領域を x 軸のまわりに1回転させた立体を考えればよいことが分かりました~
 ,  ,  , x 軸とで囲まれる領域の回転体の体積から
 ,  ,  , x 軸とで囲まれる領域の回転体の体積を引けばよいです~

回転体の体積の計算の基本は,断面積の積分ですよね。
断面の形が比較的容易になるのが回転体問題の嬉しいトコロです。

sin の2乗の形の関数を積分しなければいけない展開が待っていますが,
半角の公式を用いて字数下げを行えば特に難なく計算ができます~

回転の体積計算といえば,バームクーヘン積分なんていう手法もありますが,
この問題では逆三角関数とかが出てくるので却って面倒くさくなります。




c4_201507061830083a2.jpg



      c5_20150706183009980.jpg





   
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テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

コメント

No title

1ヶ月経つのでそろそろ更新があるかと思っておりました。
夏ですね。内容にコメント出来るほど数学は出来ないのですが、
(私に理解できるのは東京・京都の文系範囲まで)
カエルとヘビが可愛くて嬉しいです。
毎日暑いですからどうぞご自愛下さい。

へびーん

No title

コメントありがとうございます~

今年はどうも忙しくてハイペースでの更新ができずにおります~
1日があと3時間長ければもうちょいやれるのに~

へびーーん
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