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2015年京大前期入試理系数学 大問2

2015.07.19 19:34|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期京大入試の理系数学第2問を眺めてみます~

問題はこちら~ くりmini
kyo2.jpg


特定の条件を満たす四角形の面積の最小値を求める問題です~
特定の条件とは,「2つ以上の内角が90°で,しかも半径1の円が内接する」というものです~

2つ以上の内角が90°ということですが,3個以上あったとしたらそれはもう長方形になってしまいますね。
さらにいうと,縦と横の長さが等しくない長方形には円が内接し得ないので,
この場合はもう正方形になってしまいます。

2つの内角だけ90°の場合は,1組の対角が90°同士であるもの(円に内接する四角形型)
ある隣り合う2内角が90°のもの(台形型)の2タイプに分別できます。

d1_20150706183010bdd.jpg


最小値を与えるのは(ア)(イ)どちらの場合であるか分からないので,
両方について最小値を調べてより小さい方を採用すればよいです~

でも実はよく見ると上の図なんか見ればわかると思いますが(ア)の四角形AHOKと四角形KOJDの
位置を入れ替えると(イ)の図が作れてしまいます。
だから実際は(ア)(イ)のうち片側だけについて論じれば十分だったりもします~

でもまぁせっかくなのでとりあえず2タイプそれぞれについて考察してみることにしましょう~

まずは(ア)についてみていきましょう~

AH=AK=a,CI=CJ=b とおいてみます。
四角形BIOHと四角形DJOKはどちらも1辺1の正方形になっています。
四角形ABCDの面積をSとすると,Sはこの正方形2個分と△AOH2個分と△COI2個分として考えられます~

d2_2015070618304225f.jpg

これの最小値を知るために, a と b  の間に成り立つ関係式を何か手に入れたいです。
いろいろな方法で得ることができるとは思いますが,
たとえば S をもう1通りに表してみることで関係式を得ることが出来ます。
S を△ABCと△ADCの和に分けてみると, S=(a+1)(b+1) 
が得られるので, 2+a+b=(a+1)(b+1) から ab=1 が得られます~ akaname.gif

a と b は互いに逆数の関係にあることが分かったので,
あとは相加平均と相乗平均の関係式を利用するなどして最小値を出すとよいでしょう~


d3_20150706183043b18.jpg


正方形のときに最小,というのはまぁ大体予想通りな感じですね~

次に(イ)について考えてみます~
DK=DJ=a,CI=CJ=b とおいてみます。
Sは1辺1の正方形2個分と△DOJ2個分と△COI2個分として考えられます~
もちろん S=2+a+b が出てきます。
今度は ab=1 を得るために,下図のように斜辺 a+b の直角三角形を考えてみます~ dog_shy.gif


d4_20150706183044867.jpg


というわけでどちらのタイプで考えても最小値は4ということになりました~
今のやり方では線分の長さを変数とする方針をとっていましたが,
角を変数にとる方針というものもあるかと思います~
それも1つ試してみることにします~

(ア)(イ)においてθとφを図のようにとってみましょう~
どちらの場合においても θ+φ=90° になっています~

d5_20150706183044325.jpg


   d6_201507061830459c8.jpg

  d7_20150706183109ecd.jpg




さて,最小値は四角形ABCDが正方形になるときの S=4 なのですが,
あらかじめそれが結論になるはずだ!と狙いを定めておいて
四角形ABCDが正方形にならないときは必ず S>4 となることを示すという作戦なんかもあります~ kawauso.gif


d8_20150706183110582.jpg

d9_20150706183110f59.jpg





     
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