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2015年京大前期入試理系数学 大問3

2015.08.17 01:24|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期京大入試の理系数学第3問を眺めてみます~

問題はこちら~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90
kyo3.jpg


数3の微分の問題です~

指数関数のグラフと接線に関する出題になっています~

曲線  が主役です。
はじめに(1)では x 軸上の任意の点に対し,その点を通る  の接線が必ず1本だけ存在することを
確かめます~ car2_taxi.gif

曲線  は曲線  を y 軸方向に +1 だけ平行移動しただけのものなので
その概形は直線 y=1 を漸近線に持つ右上がりの曲線です。
どの点においても接線はすべて右上がりの直線になっています。
x 軸上の点 (a,0) を通る接線を探したいですが,接点の座標がよく分かりません。
このようなときは,未知の接点を仮に  と表しておいて,
この点における接線を t の式で表して,それが点 (a,0) を通ることから
座標の値を接線の方程式に代入するというのが定番の手法ですね。

このときできる t に関する方程式が a の値によらず必ずただ1個の実数解を持つことが言えればいいです~ kaeru_en1.gif

e1_2015081623033246a.jpg


 a の値と方程式の実数解の個数を調べるための常套手段として文字定数の分離があります~ m_0003.gif
方程式を 「a=g(t)」 の形に変形することで,曲線 y=g(t) と直線 y=a の共有点の個数を調べる話に
帰着させるというものです~

今回は  を考えます。
t → ∞ のとき  であるため,曲線  は直線  を漸近線に持ちます~
また,導関数が常に正の値をとる関数であることから,曲線 y=g(t) は常に単調増加です~


e2_201508162303329f6.jpg




(1)の結果に基づいて,(2)では数列  を帰納的に構成します~
(1,0) からスタートし,その点を通る接線と曲線  の接点を考え,
そこから x 軸へ下ろした垂線の足から再びその点を通る接線を引いて,接点からまた垂線を下す。
この繰り返しです。

接線はすべて右上がりですから,数列  は単調増加列になりますが,
このとき隣接2項の差  は次第にある一定の値に近づいていきます~
それを実証し,その2項の差の極限値を求めるのが今度の設問です~ m_0025.gif


e3_20150816230333c9b.jpg



の間に成り立つ関係式は
接線の方程式に x 軸との交点の座標を代入することによって得ることが出来ます~
その式は変形すると    
になります~
この漸化式を解いて一般項を n の式で表そうとか考えると手が止まってしまうと思います。
数列  の階差数列の一般項が  と等しいということを読み取れれば
それが解決への手掛かりになります~ m_0006.gif

右辺に  が残っているため,階差数列から一般項を求める公式を用いたところで
明快な形で数列  の一般項が得られることはありませんが,
少なくとも  であることまでは分かります~

当然ながら  なので,  であることが導けます~ m_0100.gif



e4_20150816230333cde.jpg



この問題では主役が  という曲線だったわけですが, 
x が十分大きくなると,  も  も大した違いはなくなってきます。
わざわざ上に1だけ押し上げなくても  で考えちゃった方が考えやすいんじゃないの?
みたいな気持ちも湧いてきてしまいますね。

そこで,曲線  の接線と x 軸との交点のほかに,直線 y=1 との交点も考えてみましょう~


e5_20150816230334571.jpg


図のように交点  を考えてみると,
 という関係式が得られます~


e6_20150816230334b29.jpg


n が大きくなると接線の傾きはどんどん大きくなり,ほとんど y 軸と平行に近いような状態になっていきます~
そうすると  の間の差は殆ど0のようなものになり,
結果として  は  に近付いていくのです~ m_0191.gif





   
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