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2015年京大前期入試理系数学 大問4

2015.08.18 11:16|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期京大入試の理系数学第4問を眺めてみます~

問題はこちら~ らっこ

kyo4.jpg


シンプルな問題ですねー
cos∠PDQ の最大値を求める問題ですが,はじめに迷うのは何を変数にとるかというところかもしれないですね。
どこかの「長さ」を変数にしようか,それともどこかの「角度」を変数にしようか。

正四面体なのですべての面は正三角形です。
その恩恵を十分に享受出来るようなアプローチの仕方をするのがよいでしょう~
そこで, △ADQ, △APQ に着目してみたいと思います~

AQ=x とおいて,これを変数にとってみたいと思います~
x の取り得る範囲は 0≦x≦1 で,余弦定理を用いて DQ と PQ の長さを
x の式で表すことが出来ます~
DP の長さは x の値によらずいつでも  で固定されています。

今度は △PDQ に余弦定理を用いることによって,目的の cos∠PDQ が x の式で表されます~ eto_ushi.gif



f1_201508170757573f8.jpg
f2_20150817075758c9f.jpg
f3_20150817075758b4e.jpg



無理式の含まれた分数式であり,やや面倒な形をしています~
なるべく面倒なことを避けて最大値を求めたいものですが~

そこで, 3-x=t とおいてみたいと思います~
cos∠PDQ を t の式に直し, 2≦t≦3 のもとで最大値を求めてみます~
すると,分子にある t を分母の根号の中に入れ込むことによって
変数を全部根号の中に封じ込めてしまうと,根号の中が  の2次関数になっています~ hamster_2.gif


f4_20150817075759cc2.jpg



微分などといった面倒な作業を経ずに無事答えに到達出来ました~~

無理式の回避のためには三角関数への置換も良いアイデアだと思います。
置換積分ではよく使う手ですが~

  なので,  (ただし,  ) とおくと,



と変形できます~ ただし α は  を満たす角とします~

 より  と分かるので, 
 のときに cos∠PDQ は最大値  をとります~ hiyo_en2.gif




でもまぁ無難に微分して増減を調べるというのも堅実でなかなか悪くありません~
試してみましょう~



f5_201508170757590eb.jpg
f6_20150817075759c3c.jpg



やや面倒にはなりますが,微分を避けるため2次方程式の解の配置問題に帰着させる方法もありますね。
結果として微分して解いちゃった方が早くはなりますが,数3の微分を知らない文系の生徒が解く際には
割と常套手段にもなってくるアプローチ方法です~



の根号の中を k とおいて k の取り得る値の範囲を考えます~




(*)を x の方程式と捉え, 0≦x≦1 の範囲に解を持つような k の値の範囲を調べて
k の最大値を求めていきます~

(*)の左辺は一見すると x の2次関数になっているように思えますが,
k=1 のときだけはそうなりません~
k=1 のときと k≠1 のときとで話を分けて考えましょう~
さらにいうと k≠1 のときは, k-1 が正か負かによってグラフが下に凸か上に凸かが変わってきてしまいます。
議論をややこしくしないためにも(*)の両辺を k-1 で割っておいて,下に凸の場合に絞って考えられるようにしてみます~



として, f(0)f(1)≦0 のときと  f(0)f(1)>0 のときとに分けて考えてみます~


f7_2015081723372975c.jpg

f8_20150817075834096.jpg
f9_20150817075835ff9.jpg

f10_20150817075836797.jpg
f11_20150817075836f6b.jpg




ここまで, AQ=x を変数としてみるアプローチを考察してきましたが,今度は角を変数にとる場合を見てみます~ kawauso.gif

△ADQ に着目して, ∠ADQ=θ とおいてみます~
正弦定理から AQ, DQ の長さが θ の式で表されます~
さらに △APQ に着目して PQ の長さも θ の式で表すことができるので,
あとは △PDQ において余弦定理を使って cos∠PDQ を立式してみましょう~

f12_2015081707583773a.jpg

f13_20150817075903fde.jpg


随分とゴツい式が出てきました~
これをこのまま微分とかして増減を調べるのは非常に億劫だし計算量が大変です。
先ほど三角関数の置換を施して最大値を求める解法を挙げましたが,
だいぶ簡単な形に式変形できてしまいましたね。
今出てきたこの式も頑張って式変形すればだいぶ簡単な形になってくれはしないでしょうか~ kasabake.gif



f15_20150817075904d9d.jpg


期待通りの展開になってくれて嬉しいですね~ kaeru_yodare2.gif

何を変数にとるか,どういう攻め方で迫っていくか,によって計算量がかなり変わってくる問題でした~



h13_2015081820400627e.jpg




     
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コメント

依存症に

{0, 0, Sqrt[2/3]}, {-(1/2), -(1/(2 Sqrt[3])), 0}, {1/ 2, -(1/(2 Sqrt[3])), 0}, {0, 1/Sqrt[3], 0}}
が {A,B,C,D}

P={-(1/4), -(1/(4 Sqrt[3])), 1/Sqrt[6]}
Q={t/2, -(t/(2 Sqrt[3])), Sqrt[2/3] - Sqrt[2/3] t}

KARA
https://www.youtube.com/watch?v=EQSv7DIJJtw

-((-3 + t)/(2 Sqrt[3] Sqrt[1 - t + t^2]))

http://www.wolframalpha.com/input/?i=-%28%28-3+%2B+t%29%2F%282+Sqrt%5B3%5D+Sqrt%5B1+-+t+%2B+t%5E2%5D%29%29

Ans ; Sqrt[7]/3


英数字が 多いと 拒絶され
ああああああああああああああああああああああああああああああああああああああ










ああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああああ

No title

https://www.google.co.jp/search?q=%E9%9D%92%E8%9B%99&hl=ja&rlz=1T4GGNI_ja___JP534&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0CAcQ_AUoAWoVChMIkpW6hrvsxwIVQ5uUCh2twgsv&biw=1245&bih=521

    を 昨年 KARA 庭に放ち 冬眠から目覚め 日々 観察中 

↑ は Google で 青蛙 の 画像検索  です。




No title

>★さん

コメントありがとうございます~
座標を設定して解くという手法もありですよねー
何やら投稿に苦心していたみたいですが~
かえるさんはかわいいですよね
お庭で観察楽しそうです~
非公開コメント

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