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2015年京大前期入試理系数学 大問5

2015.08.19 00:02|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期京大入試の理系数学の第5問を考えます~

問題はこちら~ 81772681-5429-43AA-86F3-CE1D54407314.gif

kyo5.jpg



整数問題ですかね~
発想が勝負の問題になっています~
気付いてしまえばあっという間ですが,閃かないと結構苦戦してしまうことになります。
整数問題はそういうの多いですね。

そもそも根本的な話として,問題の意味を正しく理解できない人もいるかもしれません。
 が整数だって言ってるんだから,それってつまり f(x) が g(x) で割り切れてるって言うことなんじゃないのか?
一体何を証明しろっていうんだよ!…なんてことを思ってしまう人はいないでしょうか。

ここで要求されているのは, f(x) が多項式として g(x) で割り切れることを示すことです dog_happy.gif

例えば,   は x=2 のとき  となり,割り切れて整数値になりますが,
多項式としては (3x+1)(x+1) は 2x+1 では割り切れないわけです。
この例では x=1 のとき  という値になり,整数値にならないので設問の条件は満たしていないです。
もしも x にどんな自然数 n を代入しても整数値が得られるようであれば,多項式としても割り切れるぞ!!
ということを証明しろと言っているわけですね~

この問題の厄介なところはこのほかにもあります~
係数 a,b,c,d,e は正の実数という条件設定になっていて,必ずしも整数ではないということです~
整数ではなくても,せめて有理数だったりしたらだいぶ解きやすくはなる気はしますね。
なお,文系の方の試験では,正の有理数だったらという条件下で同じ問題を出題しています~ dango.gif

a,b,c,d,e が正の実数であるということは, f(n) と g(n) はもしかしたらよく分からない無理数だったり
するかもしれないということです~
比をとった際に整数になりさえすれば良いというわけです。
この点のせいで,約数に着目した議論がなかなかしにくくなっています。

でも,  f(n) と g(n) がよく分からない無理数になるようなややこしい例は果たしてあるのでしょうか。
なんと,いくらでもあります。
例えば,  なんかは,分母も分子も思い切り係数に無理数を含んでいますが,

x にどんな自然数を代入しても整数値が得られます。

そのカラクリは,  

となり,無理数を含む部分は約分されて無くなってしまうということです~ eto_i.gif

このようなパターンがあり得ることを踏まえた上で証明しなければいけません。
登場人物が整数だけでないというのは厄介ですね。


さて,一方で多項式として f(x) が g(x) で割り切れるというのはどういうことでしょうか。
f(x) を g(x) で割ったときの商を fx+g, 余りを h としましょう~
あ, f と g は f(x),g(x) とは別物です。
ややこしいですね,別の文字使えば良かったです~ 
2次式を1次式で割るので余りは x によらない定数になっています。

f(x)=g(x)(fx+g)+h と書けます。割り切れるというのは余りが0だということなので,
すなわち h=0 ということです。

したがって, h=0 であることを示せば良いことになります m_0001.gif

      

と書き表すことが出来ますが,ここから先をどうしましょう~

ポイントの1つは, x に「どんな」自然数を代入してもこれが整数値にならなければならないということです。
x=1,2 など特別な値を代入して係数に関する必要条件を集めていくというアイデアもあるかとは思いますが
今回はなかなか有効作用しません。

代わりに次の発想に着目しましょう。
どんな自然数を代入しても良いのだから1億だろうが1兆だろうが何を代入しても構わないわけです。
それくらいでっかい数字を代入なんかしたら    は h≠0 だったとしても
ほとんど0に近い数値になっていることでしょう m_0038.gif
もしなっていなかったとしたらもっとでかい自然数を代入しちゃえば良いのです。
 
ただ,    がどんなに微小な値だったとしても,    というかたまり全体としては
整数値になっていなければならないのです。
もし f と g が整数だったら fx+g の時点で整数値なので,余計な微小項がくっつくと
もう整数値ではありえなくなるため不合理が生じていることに気が付けます~

でも困ったことに,現時点で f と g が整数であるということは分かっていません。
というわけで正体不明の f と g が邪魔ですね。

そこで2つ目のポイントが効いてきます~
それは 1次以上の多項式 f(x) に対して差分 f(x+1)-f(x) は次数が1つ小さい多項式になるということです~ m_0030.gif

 とおいてみます~
 はどちらも整数なので,その差も整数です。
  を考えることによって整数であるという性質を維持したまま,
邪魔な g を消去することが出来ます。
もう一度差分をとると,すなわち   を考えると
p まで消去することが出来ます~

微小な項のみを残したまま「整数である」という性質が維持されているため h=0 でなければならないことがいえます~ m_0101.gif



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g2_20150818204248780.jpg
g3_20150818204249a36.jpg


2度差分をとって f と g を無くしてしまおうといった辺りがなかなか閃きにくいですね~

でも,1回差分をとったところからも h=0 は言えたりもするので,それを検証してみます



はすべての自然数 n に対して整数値であるはずですが, h≠0 だとすると n が恐ろしく大きい値のとき
分数の項はすごく微小な値になっています。
右辺はほとんど f に近い値になっているはずなので f 自体が整数でないといけなくなってしまいます。
あとは h=0 でないと不合理であることを述べて終わりです~

高校範囲ではまともに取り扱わないε-δ論法に近い考え方になっています。
そういうのに何処かで触れたことがある人は有利かもしれませんね~

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g6_20150818204250940.jpg



整数の問題でしたが,やや解析学的な発想に寄った解法になっていて面白い問題ですね~




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