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2015年京大前期入試理系数学 大問6

2015.08.21 00:09|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期京大入試の理系数学第6問をみてみます~

問題はこちら~ げろ

kyo6.jpg



数列と確率の融合問題になっています~
数列の第 n 項が特定の区間に含まれる確率を求めさせるという問題は2012年にも出ています~
なかなか難しく,でも面白い問題でした~

過去問に取り組んでいた人はそのときの手法なんかを思い出したりできれば
今回の問題も多少は取り組みやすくなりそうです


まずは  が何を表している関数なのかをしっかり認識することが大事です。
 は数直線上において点 0 と点 x を結ぶ線分の中点の座標を表しています。
一方で,  は点 x と点 1 を結ぶ線分の中点の座標を表しています。
よって,点  の位置が決まると,その次の行き先  はそれぞれ確率  で点0か点1かの
どちらかとの平均で決まるという,そういう仕組みになっています~ m_0245.gif
 なので, n=1,2,3,4,… としていってたときに点  は常に  を
満たす範囲内に含まれていることになります~

そこで, 区間 0<x<1 を3等分して, , ,  
となる事象をそれぞれ  として考えていきます~

 となることはないので,例えば事象  は  のように
定義しておいても確率は変わりません。

このように定義するのは,毎回の点の移動がこれらの事象間の行き来で捉えられるからです~ m_0244.gif


h1_201508200328334fa.jpg


  h2_20150819233537e1a.jpg

  h3_20150819233538e2f.jpg



この遷移関係から連立確率漸化式を立てることが出来ます~
また,漸化式とは別に全確率=1の条件式も立てることが出来ます~
これらの条件式から  の一般項が分かるので,
あとは最終的に知りたい  は,  で計算できます~

連立漸化式ですが,  を消去すると数列  に関する
隣接2項間漸化式が得られます。このタイミングでは隣接3項間の漸化式が出てくることが多いのですが
ちょっとラッキーですね。

h4_201508192335390b0.jpg


h5_20150819233540419.jpg


次に  を求めたいのですが,ここの求め方で各人で分岐が起きそうです~

 に代入して数列  に関する隣接2項間漸化式を作る方針をまずは考えてみます~



というのが得られます~

 型や  型は割とベタですが,
融合型  だとちょっと面倒ですね。

等比数列型に帰着させるために,  
を満たす定数 α, β を探すという手を使ってみます m_0246.gif
α は x=px+q を解くというおなじみの手法で見つけられます。
βの方は  より,  のようにしてやればいいわけです。

h6_20150819233541bbf.jpg
h7_20150819233618d61.jpg




 型に帰着させるために階差  を考えるというのもよくやる手法です~



h8_20150819233619854.jpg
h9_201508192336207c3.jpg


階差数列の公式が使える形に変形するために  を考える手も有効です~



n≧2のとき,



これは n=1 のときも正しいので, n≧1 において,



を得ます~


数列  に関する漸化式を解くという方面から  を求める手法を挙げてきましたが,
対称性に着目するともっと簡単に  を求める事が実は可能です~ pakukapa.gif

 が閉区間 [0,1] の中央の点であることが原因で
事象  が起こる確率はそれぞれ等しくなっています~
つまり,  が成り立ちます~
この関係式から  を求めようということが出来ます~


h10_20150819233620195.jpg


ここまで  として答えを求める方針をとってきましたが,
今度は素直に数列  に関する漸化式を立てる方針を試みたいと思います~ buta(2).gif
基本的な発想はさっきまでやってきたことと変わらないです~


h14_20150819233622911.jpg
h15_20150819233656fb1.jpg

対称性に着目すれば上記のように簡単に解けますが,
利用しなければ  の間の関係式が得られます。

隣接3項間の漸化式の特別なものとみなして解くことも出来ますが,
n を遇奇で分けて隣接2項間漸化式に帰着させることも出来ます~

h16_20150819233657c60.jpg

h17_201508192336582c7.jpg
h12_20150819233621781.jpg








     
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