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2015年前期東北大入試理系数学 第1問

2015.08.28 12:13|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東北大の前期入試理系数学第1問を眺めてみます~

問題はこちら~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

to1.jpg


2次曲線がテーマの問題です~
2次曲線の単元は出題率がさほど高くないだけに,理解度が甘くなりがちです~
突然ふっと出てくるとギャァ!て思っちゃう人も多いかもしれませんね~
本問は特に難問というわけではないので,確実に得点しておきたい大問の1つになっています~

曲線 C は原点を中心とする楕円の右上1/4部分になっています~
接線と法線が出てくる流れは定番パターンですね。

i1_201508281119043c4.jpg

斜線部分の三角形の面積 S の最大値を考える問題です~
法線 m と x 軸の交点を A, y 軸との交点を B としますと △OAB が考察対象の三角形です。
直角三角形なので OA と OB の長さが分かれば面積計算が出来てしまいます。
どちらの長さも法線 m の方程式が分かっていればすぐに求められますね。
というわけで m の方程式を求めるところから始めてみましょう~ sosu.gif

接点 P の座標を文字でおいてみたいのですが,
パラメータ表示を用いて  とおくか,単に  のように
おくか迷うところですが,どちらでおいても特にその後詰まることはないので
好きな方でおくとよいと思います~

まずは前者で考えてみます~
S が θ の関数,つまり三角関数で表されてしまうため,三角関数の公式を利用して
最大値を求められることが利点です。

さて,楕円の接線の公式を適用すれば  の方程式は簡単に得られます。
公式をうろ覚えだったりする場合は微分を使うなどしても構わないです~
なお曲線 C は端点を含まないので y 軸に平行な接線は出てきません。

 と m は傾きの積が -1 なので, m の方程式も難なく出せることでしょう~
あとは x 切片と y 切片を読み取って S を立式します~
sin の2倍角の公式を使うだけで最大値がすぐに分かってしまう形をしています~ bakezouri.gif



i2_20150828111905c7d.jpg


sinθcosθ の最大値は微分を用いて求めることも出来ますし,
相加平均と相乗平均の関係式から,



として求めることも出来ますし,



として求めることも出来ます。いろいろな手がありますね。



P(a,b) とおいてみるパターンについて見てみます~~
楕円上の点なので  という条件式が成り立つことを忘れないようにしましょう~
この条件式から一方の文字が消去できます~


i3_201508281119067b2.jpg


一方の文字の消去を行わず相加平均と相乗平均の関係式を使って



のように処理してしまうことも出来ますね cat_4.gif



さて, S の立式のために m の方程式を求めようという方針をとってきましたが,
実は m の方程式は求めなくても答えは出せます。
下図を見れば分かるように, △OAB と相似な直角三角形が結構いっぱいあります~
△OQR や  △HAP なんかがその例です。
相似比と面積比の関係に着目して S の立式をすることが出来ます~ car2_taxi.gif


i4_20150828111906887.jpg
i5_20150828111907f0d.jpg



i7_201508281209489f3.jpg




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