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2015年前期東北大入試理系数学 第2問

2015.08.29 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大の前期入試理系数学第2問を眺めてみます~

問題はこちら~ わんちゃんmini

to2.jpg


3次関数のグラフと接線がテーマになっている問題です~
点 P を通る接線が3本あって,それら3本の接線の傾きの和と積が0になるようにしたい!
ということらしいですね。
そのためにまず3本の接線が引ける P の存在領域が知りたいということで,
(1)は問題で与えた領域 D 上の点では常に3本の接線が引けることを確かめる内容になっています~

ある点を通る接線の本数を答えさせる問題というのは物凄く定番なので,
問題数こなしている受験生なら大体一度は遭遇したことがあるかと思います。
「接点 t 」でお馴染みの動画で扱っていたのも接線の本数絡みの問題だった気がします。

xy 平面上に P があるとき,その点を通る接線の本数は P の位置によって当然変わってきます~
対象の関数が今回のような3次関数の場合だと,最大で3本,最小で1本の接線が引けます~ dog_happy.gif


j7_20150828174052e01.jpg


3本の接線が引ける領域は変曲点を中心として点対称な形をしています~
ちょうどそのうちの半分の部分が今回の問題では D とされています。

ではその D の中に点 P があるときに接線が3本であることを確かめてみます~

P(a,b) とおいてみます。
P を通る接線の方程式を立ててみたいのですが,傾きや接点の座標などが分からないので困ってしまいますね。
ここで仮に接点の x 座標を t などとおいてみるというのが必須手法になっています~
これぞいわゆる「接点 t 」ですね~

接点の座標が t を用いて表せるのでその点における接線の方程式も微分を利用して求めることが出来ます。
その接線が P を通ることから, x=a, y=b を代入して t に関する方程式を作ることができます~
この方程式の解が接点の x 座標を表すわけですから,3本の接線が引けるためには
ちょうど3個の実数解が必要です。
(接点の個数)=(接線の本数) と言うことができるんですね eto_i.gif

なお,4次関数などといった関数になってくると話は別です。
2重接線や3重接線が存在するような関数の場合は(接点の個数)=(接線の本数)が
必ずしも成り立たなくなってしまいますから注意が必要です。
ただ,そのようなタイプの関数で接線の本数を聞いてくることは滅多にないですけどね。

j6_201508281740103c9.jpg




とりあえず領域 D を図示してみることにします~

j1_20150828174007779.jpg


t に関する方程式を立ててみます~

j2_20150828174008a55.jpg


j3 1



t の3次方程式の実数解の個数を調べる問題に帰着されました~
関数 f(x) に対して方程式 f(x)=0 の実数解の個数を調べるための手法の1つとして
y=f(x) のグラフと x 軸の共有点の個数を調べるというものがあります~
ここでもその手法を採用してみます~
変数は t なので x 軸ではなく t 軸で考えます。

実数解の個数が3個であればいい →  グラフが t 軸と相異なる3個の共有点を持てばいい

と言い換えられますがこれは更に, 極大値>0 かつ 極小値<0 であればいいということに言い換えられます~ isona.gif
それを確かめてみましょう~



j3 2
j4_20150828174009ba7.jpg


j5_20150828174010604.jpg



無事に接線が3本引けることが分かりました~
初動作が接点を t とおくということでしたが,接線の傾きを m とおいてみる場合はどうなるでしょうか。
つまり点 P(a,b) を通る傾き m の直線が曲線 C の接線になっていると仮定するという方針です~

これは3次方程式  が重解を持つ条件を考える問題に帰着できます~



の形に因数分解ができれば良いことから係数比較へと持っていきます~ insect_kuwa_m.gif


j8_201508281740537c8.jpg


はじめの解法と同じ  が出てきたのでここからさきは先程と同じようにやればよいです~

ではここからは(2)について考えていきましょう~

3本の接線の傾きの和と積が0になるようにするということで,和と積で2つ条件式が作れることになります。
 のとき,  なので,
3本の接線について,その接点の x 座標をそれぞれ α, β, γ とすると,
3つの傾きはそれぞれ  となります。
これらの和と積が0ということですが,それで立式すると α, β, γ に関する対称式になっているので
基本対称式の値が分かれば α, β, γ を含まない形に直せます~
α, β, γ は  の解なので,3次方程式の解と係数の関係を利用することが出来ます~ hunayurei.gif


j9_20150828174054a66.jpg

j10_201508281740559b0.jpg
j11_2015082817405686c.jpg




ところで傾きの積が0ということは,3つの傾きの中に0が含まれるということです。
C の接線で傾きが0のものといえば,極値を与える点が接点になっているものの2本しか無いです。
 を求めたあとは,このことに着目して b の値を求める事もできます~


j12_201508281740569a9.jpg
j13_20150828174128427.jpg


b の値があらかじめ絞れることに着目すると,解と係数の関係を用いない方針でも問題が解けます。
傾きの和が0でしたが,3つの傾きのうち1つは0なので,実質残り2つの和が0だということになります。
ということは3つの傾きは0, k, -k という形をしていることになるので
傾き m に関する3次方程式を作ったらそれは m(m+k)(m-k)=0 の形に変形できなきゃいけなくなるのです。

j12_201508281740569a9.jpg

j14_20150828174129ca2.jpg
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