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2015年前期東北大入試理系数学 第3問

2015.09.02 18:18|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大の前期入試の理系数学第3問です~

問題はこちら~ くりmini

to3.jpg


東北大入試ではおなじみの確率の問題です~
比較的に取り組みやすい大問という印象です~
手堅く正解しておきたいです~

サイコロの出目と2次方程式の融合問題になっています~ car2_tank.gif
  ……(*)
は3個のサイコロの目の出方によって216通りの2次方程式を表しますが,
(1)では,そのうち実数解を持つ方程式が何通りあるかを考えていきます~

判別式の符号が0以上になるような組み合わせが何通りあるか数えればよいですね。
実はそんなに多くないのです~

k1_201508290924533b0.jpg


216種類のうちたった5種類しか実数解を持つ方程式がないということみたいですね。
残りの211種類はすべて相異なる2個の虚数解を持つことになります。
そのうち,2解の積が1になるようなものが何種類あるかを次は数えます~

αβ=1 という条件式は,解と係数の関係を用いると  という式に直せます~ eto_hitsuji.gif

 の値か  の値かで場合分けしてカウントしていきましょう~

前者で攻めると,

k2_2015082909245488d.jpg

k3_20150829092459eb2.jpg


後者で攻めると,

k8_20150829092556641.jpg




(3)では,(*)が相異なる2個の虚数解を持ち,さらに αβ<1 になるようなものが何種類あるかを数えます~
D<0 かつ  が成り立つようなものを数えると良いのですが,
組  の個数は1~6の中から相異なる2個の数字を取ってくる組み合わせの個数と等しいので
 (通り) あります~

このうち D<0 であるものを考えると,
 のときのみ  は6以外全てで
それ以外の14通りにおいては1~6のどれであってもOKになっています~

k4_20150829092500c0b.jpg
k5_201508290925021fe.jpg
k6_20150829092503d84.jpg



(3)は(1)と(2)の結果を利用して答えを出すことも出来ます~
誘導として(1)(2)があったものと考えれば,こちらの解法の方がより趣旨に沿ったものになるのかもしれないです~

実数解を持たないものが211通りあり,そのうち αβ=1 であるものが33通りあったわけです。
残りの178通りについては αβ<1 であるか αβ>1 であるかのどちらかになるわけですが,
 であるか  であるかということなので,
対称性から両者は同数だけあることが分かります~
つまり 178÷2=89(通り) ずつあるということです~ kaeru_en1.gif



k7_20150829092555670.jpg

k9_20150829092556674.jpg






      
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