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2015年前期東北大入試理系数学 第4問

2015.09.15 13:42|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大の前期入試理系数学の第4問をみてみます~

問題はこちら~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189


to4.jpg


積分と極限の問題ですね~
(2)までできちゃうと(3)は(2)までと同じ流れで解けてしまうというパターンの大問です。

何やら面倒くさそうな値の頂点を持った三角形の面積を考えるようですね。
1辺が x 軸上にあるため,その面積  を求めるのは容易です。
定積分  の方は被積分関数が厄介な形をしているため,
実際に積分を実行してその値を求めようとするのは難しそうです
ある程度慣れている人なら被積分関数の形と(1)の設問内容から,
「あ,これは定積分の状態のまま不等式評価に持ち込むパターンだ 」と即座に気付くと思いますが,
積分慣れしていないと,頑張って定積分の値を計算してから不等式評価しようという方針に
走ってしまう可能性もありますね。その方が方針としては単純で分かりやすいですからね。
不等式を用いた定積分の評価という操作自体にあまり慣れてなく,なるべくやりたくないな~とか
そもそもそれが求められていることに気づかないとか,そういった原因で手が止まってしまいがちな問題かもしれません。
「実際の定積分の値を求めるのがしんどいのでそれに近い値で挟み込んでやろう」という趣旨なんだってことを
しっかり掴めるようにしたいです~ dog_shy.gif



2nπ≦x≦(2n+1)π において  は単調減少であり,

を満たします。特に n が十分に大きい数であるときは, 
 はとても近い値をとっているので,
 の評価としてはなかなか誤差の少ないものになっています。

またこの区間で sin x は,周期性より 0≦x≦π のときと同じ挙動をするので,常に 0≦sin x≦1 を満たしています。



がこの区間で成り立つことから,定積分の間の大小関係



が得られます~ dolphin.gif



l2_2015082909264910e.jpg


この不等式を利用して(2)でははさみうちの原理を用いて答えを求めます~ hamster_2.gif



l3_2015082909265168d.jpg
l4_201508290926530c8.jpg



(3)も同様に考えます~



という評価式が成り立つことを利用します~ hunayurei.gif


l6_20150829092806793.jpg
l7_20150829092807a7f.jpg


さて,(2)(3)の答えの値について少し考察してみます~

 はそれぞれ下図の緑色部分の面積を表します。

l1_20150829092647950.jpg


 は2つの面積の比ですね。
(2)は n を十分大きくしていったときにこの面積比がどんな値に近づくか調べなさいということを言っていることになります。
 のグラフは x が十分大きいときはほとんど x 軸スレスレのところを通っていて,
形状もほとんど x 軸に平行な直線に近いものになっています。
そのため,  のグラフと  のグラフは  で接しますが,
その点は極大値を与える点のすぐ近くにあります。

結果として,2つの面積の比は,  の3点を頂点に持つ三角形と
0≦x≦πの範囲で y=sin x のグラフと x 軸が囲む部分の面積の比とほぼ同じになっていきます。
その比がちょうど  なのです~ m_0033.gif



l8_20150829092808a5e.jpg



一方,  は下図の緑部分の面積です。


l5_201508290926555ff.jpg



 の面積比はさっきの三角形と,今度は 0≦x≦π の範囲における   のグラフと
 x 軸の囲む部分の面積の比に近づいていきます。
この2つは面積が等しいので,(3)の答えは1になっています~ nezumi02.gif



l9_2015082909280934b.jpg




l10_2015082909280986c.jpg






  
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