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2008年 日本数学オリンピック予選第8問

2015.08.22 22:41|数学
どもども。

今回は縁あって2008年のJMO予選第8問を考えてみます~

問題はJMOのサイトから見ることができます~

表を向いた8枚の硬貨が横一列に並んでいるという状況です~
特定の条件を満たすような硬貨を無作為に選んで順次裏返していき,
裏返すことのできる硬貨が無くなったらそこで終了という操作をするそうですが,
このとき最終的に裏返っている硬貨の枚数の期待値を求める問題になっています~

ではどういう硬貨なら裏返せるのかということですが,
その硬貨より左側には裏返ってる硬貨がない,またはその硬貨より右側には裏返ってる硬貨がない
ということらしいです。

例を見てみます~
白丸が表,黒丸が裏を表すとします~

n1_2015110322532838b.jpg


このような順序で裏返していくと,最終的にちょうど4枚の硬貨が裏返っていることになります。
両端の硬貨は必ず裏返されることなども観察できます。

裏返せる硬貨の見分け方は,オセロに見立ててみると分かりやすいと思います。
黒丸と黒丸で挟まれた白丸はひっくり返せないのだから,
黒丸で挟まれた白丸はオセロのようにひっくり返るというふうにルールを改変すると,
この1列オセロがすべて黒丸にひっくり返るまで平均何回の裏返し操作が必要か?
という質問をしているのと全く同じ事に気付きます。


n2_2015110322532961c.jpg


元のルールに戻ります。

最終的に裏返ってる硬貨の枚数は最小で2枚(両端だけ裏返っている状態),
最多で8枚(全て裏返ってる状態)です。
裏返ってる枚数が k 枚である確率を求めていこうとするオーソドックスな手法はなかなか難しそうです。

今回は次のような発想を利用してみます~
硬貨を左から順番に【1】,【2】,…,【8】のように番号付けをして,
1≦k≦8 に対し,確率変数  を,
硬貨【k】が最終的に裏返っていたら1,裏返っていなかったら0という値をもつようなものとします。
また別に確率変数  を導入すると,
X は最終的に裏返っている硬貨の枚数を表すので, X の期待値が求めるべきものであることが分かります~



なので,  を求めていこうという方針で攻めてみることにします~

なお,



が成り立つため,結局のところ



ということになります~


  を求めていきましょう~

【1】と【8】は必ず裏返しになるため,どんな手順で操作を行っても,
番号が k 以上の硬貨は必ず1枚以上裏返しになるし,
番号が k 以下の硬貨も必ず1枚以上裏返しになります~
硬貨【k】が裏返されるということは,「初めて裏返される番号が k 以上の硬貨が【k】である」または
「初めて裏返される番号が k 以下の硬貨が【k】である」
ということと言い直すことが出来ます~

硬貨の対等性から,初めて裏返される番号が k 以上の硬貨が【k】である確率,【k+1】である確率,
【k+2】である確率,…,【8】である確率はどれも等しくなっています。
同様に,初めて裏返される番号が k 以下の硬貨が【k】である確率,【k-1】である確率,
【k-2】である確率,…,【1】である確率もどれも等しくなっています。
このことを利用すると  が比較的簡単に求められます~


n3_20151103225329387.jpg
n4_20151103225330ea7.jpg
n5_201511032253319bd.jpg
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  n7_201511032253480f0.jpg

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