プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

09 | 2017/10 | 11
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2015年前期東北大入試理系数学 第6問

2015.11.10 15:57|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期東北大入試の理系数学第6問を眺めてみます~

問題はこちら~ げろ

b9_20151127014213d6c.jpg


k-連続和という新しい概念を導入して,その性質について論じてもらおうという趣旨の問題ですねー
解析色の強いイメージのある例年の東北大入試にはあまりないタイプの問題ですね。
新課程になったこともあってか少しパターンを変えてきたのかもしれません。

k-連続和とはどういうものか例を挙げてみることにします。

9=2+3+4 と書けるので,9は3-連続和である。
22=4+5+6+7 と書けるので,22は4-連続和である。
81=11+12+13+14+15+16 と書けるので,81は6-連続和である。

こんな具合でしょうか。
連続する k 個の自然数の和で書けるものを指すということです~
(2)(3)のようなk-連続和に関する具体的な質問に答えていくには,
「連続する k 個の自然数の和で書ける」という説明だけでは論じにくいということなのか,
(1)では n がk-連続和であること同値な条件を確かめさせています。

この(A)と(B)が成り立つことが必要十分だということだそうなので,
一旦これさえ確かめてしまえば,(2)以降はずっとこちらの条件に照らし合わせて論じていけることになります eto_inu.gif

それでは(1)を考えていきます~
必要性と十分性を両方確かめれば良いです。
まずは(A)かつ(B)が成り立つことが, n がk-連続和であるための必要条件であることをみてみます~

o1_2015111012585956f.jpg
o2_20151110125900fcd.jpg


今度は(A)かつ(B)が成り立つことが, n がk-連続和であるための十分条件であることをみてみます~


o3_201511101259010a8.jpg


(2)に進みます~
n が2の自然数乗で表されるとき, n はどんな k についてもk-連続和にならないことを示す問題です~
(1)の結果から,どんな k についても(A)と(B)が同時に満たされることはないことを確かめれば良いという方針が立ちます。
そこで, n がk-連続和である,すなわち(A)と(B)を同時に満たす k があると仮定して矛盾を導く
背理法の考え方で証明をしてみます~

整数問題では, (整数)×(整数)=(整数) 型の条件式がしばしば問題解決の糸口になります~



が自然数にならなければなりませんが,分母を払って式変形を施すと



が得られます~
左辺が素因数を2しか持たないことから,右辺もまたそうでなければならないため,
k と 2m+k-1 もまた2しか素因数を持てないことになります。
でも 2m+k-1 は3以上の奇数になってしまうから不合理だよ!という辺りに気付けたら勝利です~


o4_20151110125902eee.jpg
o5_20151110125902419.jpg


(3)を考えてみます~
n が奇素数 p の自然数乗の形をしている場合に何通りの k-連続和に表わされるかを調べる設問ですね。

n が k-連続和になっていると仮定します~
先ほどと同じように



の分母を払って,



の形に変形しておきます~
(2)とは違って左辺が 2 と p という2種類の素因数を持っています。
右辺もまたそうでなければならないことから, k は2だけを素因数に持つか, 2, p を両方素因数に持つかの
2通り考えられる
ことになります~ m_0052.gif


o6_20151110125903745.jpg

f=1の場合を先に調べておきたいと思います~
というのも,あとで分かりますが若干特殊パターンなのです~

o7_20151110125942967.jpg

  o8_20151110125942392.jpg

f≧2 の場合について,まずは k が  の形をしているものについて考えてみます~

F は 0≦F≦f を満たしていれば何でも良いのかと言われれば,決してそんなことはありません~
(A)と(B)を同時に満たすような F に絞りこまなければいけません。
現時点ではあくまでも「もしk-連続和になっているならば」 k は  の形をしている
ということしか分かっておらず,実際にk-連続和になることがあるかどうかという点の答えは
分かっていない状況であることに注意しましょう~

o9_201511101259439cf.jpg


 のパターンについても同じように考えていきましょう~
その際,結論として f が奇数のときは  でなければならないことが
出てくるのですが, f=1 の場合だけちょっと具合の悪い式になっていますね。
f=1 の場合を独立して先に論じておいたのはこの煩わしさの回避が目的です。


o10_20151110125944746.jpg


無事に結論が出ましたね~
f 種類のk-連続和になっているということが分かりました~ m_0051.gif



さて,今回は(A)と(B)という2条件にすり替えて論じていく手法を取りましたが,
この(A)と(B)というのはそれ単独で見ると何だかよく分からない条件ですよね。
こんなわかりづらい条件にすり替えないと見通しよく論じていけないものなんでしょうか。
もう1つくらい別の条件にすり替えて(2)(3)を考えてみたいと思います~


o11_20151110125944a43.jpg


の形で表示できるということからアプローチしていきます。

(2)については,やはり分母を払って

の形などに着目すると良さそうです~

o12_20151110125945394.jpg
    o13_2015111013001305c.jpg


(3)も考えてみます~
まずは f=1 のパターンを先に処理しておきます~

o18_20151110130016e73.jpg



f≧2 の場合について,(2)と同様に k が奇数のものと偶数のものとに分けて考えていきます~
まぁ結局は最初の解法と同じような形の議論に落ち着いていきますね。


o14_20151110130014070.jpg


  o15_20151110130014d11.jpg


o16_201511101300157f5.jpg

o17_20151110130016c54.jpg






   
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

コメント

管理人のみ閲覧できます

このコメントは管理人のみ閲覧できます

No title

コメントありがとうございます~

たしかにご指摘の通りの誤植でした~
修正しておきました!
また見つけたら気兼ねなくお申し付けくださいv-63
非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。