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双曲線の焦点についての関係式 c^2=a^2+b^2

2015.11.17 13:53|数学
どもども。

2次曲線というのは理解が甘くなりやすい単元ですね。
入試での出題率も,低いとは言えないけども高いとも言えず,
きちんとやってはおきたいものの,でもどうしても数学IIIの華は微積なので
その陰に隠れて学習が雑になってしまい,
「お願いだから出題されないで~~~ 」と祈りながら試験本番を迎え,
いざ問題用紙を開いてみると「楕円」や「双曲線」という単語が目に入り愕然とする
みたいなことが起こりがちです。


楕円  (ただし a>b>0 ) の焦点 (±c,0) については, 
 という関係式がありますね。
楕円の方程式を導くプロセスから得られる関係式ではあるのですが,すごく端的にこれを見て取ろうとすると,
楕円上の任意の点Pと2つの焦点  の間に
  という関係式が成り立つことから,
P(0,b) とした場合を考察することで確認ができます hiyos.gif
 だったか  だったかど忘れした際にはこの方法で簡単に検証が出来ます。

p0.jpg


 となるのは双曲線  (ただし a>0, b>0 ) の焦点についてです。

原点,(a,0), (0,b) を3頂点とする直角三角形の斜辺に c が現れることを覚えておけば便利です m_0001.gif

p1_2015111013012167d.jpg


原点,(a,0), (a,b) を3頂点とする直角三角形の斜辺にも c が現れるため,
 が成り立つことから,三角形  は直角三角形になっていたりもします。

p2_20151110130121ce9.jpg

これらのことは,  となることを知っていればすぐ分かることですが,
肝心の  は何をもって端的に確認すればよいでしょうか。

楕円のときのように双曲線上の点Pをどこかにとってそれが見て取れたら楽でいいですね。
ただ,そのような良い位置が楕円のときほど明快には見つかりません。
では一体どうしましょう。

Pを双曲線上の第1象限の部分に取り,だんだん原点から遠くへ動かしていきましょう。
遠ければ遠いほど2つの線分  は漸近線  と平行に近い状態になっていきます。
やがて,Pが無限遠点までいってしまったとすると,この2線分は途中で漸近線と交わるわけにはいかないので
最終的に漸近線と平行になってしまいます korobo.gif


P は常に  を満たしながら動いていったので,
最終的に下図で言うと  が成り立つと捉えることが出来ます。

p3_20151110130122242.jpg

中点連結定理より OI=a であること, ∠IOF=θ とすると直線 OI の傾きから
  となることを踏まえると, I F=b であることが分かるので, 
a, b, c の間に成り立つ関係式が得られます~ kojika.gif



p4_20151110130122b40.jpg
 





   
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