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和の一般項から元の数列の一般項を求める問題について

2015.11.22 13:48|数学
どもども。


数列の単元で時々出てくる,和の一般項から元の数列の一般項を求める問題について
ちょっと考えてみます~ げろ

数列  の初項から第 n 項までの和を  とします~
数列  の一般項が与えられている状況で  を求めるという流れの問題は定番ですが,
その逆のパターンもあります。

例えば, n≧1 において  が成り立っているとしましょう~
このとき,元の数列の一般項  はどうなるか?
…のような問題ですね eto_mi.gif




が成り立つため,  によって  が求められるのでした。
ただし,この関係式は n≧2 のときにおいて成立するものであって, 
n=1 の場合は意味を為さないため,別に吟味が必要です。
 なので,これで得られる初項が 
n≧2 の場合の一般項において形式的に n=1 としたものと符合するかどうか
確かめるという操作を通常は行います。
もし符合するようなら  がより簡潔に表示できるので見た目がスッキリするわけですね。



a1_20151118014607973.jpg


この例では無事に n≧2 のときの一般項の式が n=1 のときにも成立しましたが,
毎回そんなうまくはいきません~


 (n≧1) が成り立つような数列   についてはどうでしょうか~


a2_20151118014608638.jpg


今度は n=1 のときだけ特別扱いになってしまいました~


では、どんなときに n=1 でも表示式が正しくて,どんなときに正しくないのでしょう~
その見極めについて考えてみたいです。
今挙げた2つの例については,実は簡単にその判別が出来ます~

 は元々 n≧1 で定義されていたものであるため,
形式的に n=0 を代入して  を計算しても,それは特に意味を持たないものなのですが,
 ならば  から得られる表示式は n=1 でも正しい
ということが実は言えます。

最初の例では,  であるため, n=1 まで表示式が拡張されますが,
2番目の例では,  であるために n=1 までは表示式が拡張されません。

なぜそのような判定ができるのか考えてみます~
  と定めることで数列  が n≧0 で定義されているものとして拡張が出来ます。
   (n≧0) とおいてみましょう~
 および任意の自然数 n に対して  が成り立ちます~
このとき, n≧1 に対して  が成り立ちますが,
形式的に  が成り立つようであるならば,
 の部分が形式的に  として計算したものと
合致するわけです eto_i.gif



この考え方を最初の例に当てはめてみると,次のような解答ができることになります。


a3_20151118014608797.jpg


2番目の例に適用してみます。
形式的に  として計算できないのでやはり議論が分岐してしまいます。


a4_201511180146096f1.jpg


例えば無理矢理に   などと変形すると
これは  かつ n≧1 では  が成り立つので,
分岐することなく n≧1 において 
が成り立ちますが,見た目が複雑になってしまってるのでそれほどメリットがないですね。



とりあえずこの判定法を用いれば   かどうかを見るだけでよいので




などのような例では n=1 まで表示式が拡張されることがすぐ分かります。

形式的に  が計算出来ないタイプは  の一種として考えるとよいと思います。
例えば  のようなパターンなんかですかね。

となりますね。

また,次のように和の一般項自体が分岐してるパターンもあります。

a5_20151118014609a72.jpg



特殊なパターンは注意が要りますが,基本パターンには簡単に適用できるので
検算などの役に立てればよいと思います~





a6_201511180146108fd.jpg







     
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