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階差数列を利用して元の数列の一般項を求める問題について

2015.12.02 10:17|数学
どもども。

前回は数列の単元における,和の一般項から元の数列の一般項を求める問題の話題に触れましたが
今回は階差数列の一般項から元の数列の一般項を求める問題について考えてみたいと思います~ げろ

n≧1 で定義された数列  の階差数列  とは,一般項が  で与えられるもので,
階差数列の一般項が分かっていると, n≧2 においては元の数列の一般項が 



によって復元できます~
その理由は,次のような計算からすぐに分かります~

b2_20151124161052d54.jpg

この計算は n=1 の場合には意味を為さないため, n≧2 の場合で得られた一般項が
n=1 でも正しいかどうかを吟味する作業が加わります。

例として,  である場合について元の数列の一般項を復元してみます。


b1_20151124161051707.jpg


・・・とまぁ,通常は n=1 でも表示式が正しくなっているわけですが,
では n=1 では表示式が正しくなかった例に遭遇したことはあるでしょうか。
出会ったことがない人も多いかもしれません。
階差数列の一般項が n の多項式で定義される数列や指数関数型など,高校数学でよく見かける形の
素直な数列に関しては基本的に n=1 で表示式が正しくなくなるということは起こりません。
だったらもう 「 n≧2 のとき」 などと面倒なことをしないで 「 n≧1 で成立する」 でいいではないかと
思うかもしれませんが,先ほど挙げた階差数列の公式の成り立つ理由部分の計算が n=1 では意味を
為さないことは確かなので,律儀に n≧2 としておく方がやはり安全なのです。
技巧的な定義のされ方をした数列の場合においては n=1 では成立が阻まれてしまうこともあります。
それについてはまた後で触れることにします。

まず,素直な数列に関しては n=1 でも表示式が正しくなることについて考察してみます~
「素直な」とはなんだ?という点については深く追究せず,階差数列の一般項が n の式として
1本の簡単な数式で書けている,くらいの認識でいいと思います。

階差数列の一般項を利用して,例えばこのようにしてみてはどうでしょうか panda_1.gif




これなら, n=1 でも  となり,意味を為します。
しかも,以下の計算の通り, n≧2 でも正しいです。

b3_20151124161052884.jpg


先程の例においてこの形式に基づいて一般項を計算してみます。

b4_20151124161053ae6.jpg

このようになるわけですね。
というわけで,  が簡単な数式1本で書かれていれば, n≧2 のときと n=1 のときを一括で扱えるわけです。
したがって, n=1のときだけ突然和を乱すなんてことは起きないのです。

また,数列  を n≧0 で定義された数列に拡張してしまうという手法も用いることが可能です。
形式的に  が計算できるとき,  によって  を定義することによって, 
n≧0 で定義された数列に拡張できるのです。

このとき,通常の流れでいくと n≧1 において成り立つ一般項  を計算したあと,
その結果が n=0 のときにも成り立つか調べるとことになりますが,
 n=0 のときというのは元々無かったものなので,  n≧1 で正しければもうそれで良いのです。



b5_20151124161054d88.jpg


 の場合など,形式的に  が計算出来ない場合はこの手法は使えませんね。


以上を踏まえると,やはり n=1 のときだけ例外というパターンは起きなさそうに見えますが,
最後に例外が起きるパターンについて考えていきます~ rabi_shy.gif


そもそもの話,元の数列  が n=1 のときと n≧2 のときとで定義式が分岐する場合
というのがいくらでもあります。
例えば,  で定められるような数列。
このとき,階差数列の一般項は  となりますね。
したがって,はじめにこのような  が与えられて,では元の数列の一般項を出しなさいと言われたら
そりゃ n=1 のときだけ例外になってしまうに決まっています。

n の値によって定義式が分岐するような例においては n≧2 のときの結果が n=1 のときには正しくない
という場合が起きてしまうということがわかりました。
このような例では,先程の一括議論の話はどう取り扱われるのか例を挙げて見てみます。

まずは普段使い慣れている通常の公式を用いてみます。

b6_20151124161055656.jpg

n≧3 のとき, n=2 のとき, n=1 のときに分けるというやや面倒なことになってしまいました。
n≧2 としなかったのは, n=2 のときΣ計算の部分の記述が面倒だからです。

n≧1 で成り立つ式変形を用いると,


b7_20151124161110245.jpg


最終的に2つに分離してしまうという形で場合分けが生じました。
とはいえ,はじめの手法よりは簡明な感じです。


そんなわけで,階差数列の定義式の分岐によって元の数列の一般項も分岐することがあることが確認できたわけですが,
表現次第ではこの分岐も克服できる場合があります。

例えば上の例だと,



であるとか,



といった表示によって,分岐を回避することが出来ます。
したがって,  もすべての n について成り立つ1本の式を用いた表現で書けることになります。
ただ,あくまでも「やろうと思えば出来る」というだけで,それが簡潔な形をしているとは限りません。




    b8_20151124161111274.jpg
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