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置換積分の計算でよくあるミス

2015.12.13 17:23|数学
どもども。

置換積分の計算でよく見かけるミスがあります。
今回はそれについて考えてみます~ くりmini



の計算を例に取ってみていきたいと思います~
以下に示す2つの解答例,最終的な答えの値が異なります。
一方は正解で,もう一方は不正解です~ akaname.gif


f5_201512131340240e2.jpg
f6_20151213134025ec4.jpg


2つの計算の相違点は,置換を行った際の新しい積分区間の取り方ですね。
x=-3 のときの θ の値をどう取るか。
 どちらの値でも x=-3 と対応することは間違いないです。
問題は x=3 と対応する θ の値との相性なのです。


ではここで,置換積分の発想の起点まで立ち返ってみます。
計算練習ばかりやっていると,置換積分というのが合成関数の微分の逆操作であることを見失ってしまいがちです。

f1_2015121313402271c.jpg

仮定の設け方は色々あるかもしれないですが,とりあえずこんなもんでいいです。
それで,どうやってこの等式が得られるかというと,次のような感じです dog_happy.gif


f2_20151213134022ad6.jpg



例を用いてこの公式を適用してみます~
 の場合,  という置換を用いて,


f3_201512131340238ac.jpg


と計算できます。ただ,本質は被積分関数を合成関数の導関数として捉えることだったので,
わざわざ置換積分といいう型にはめずに,
 に着目して,



f4_201512131340231b1.jpg


と計算するほうがシンプルなわけです~ curry.gif



上で挙げた置換積分の公式で,大事なことは置換の仕方は基本的に
(新変数)=(元の変数の関数)
の形で与えるということです kaeru_en1.gif
(元の変数)=(新変数の関数) ではないのです~
これが冒頭で挙げた計算ミスの原因に大きく関わっています~

冒頭の問題では, x=3tanθ という置換を行っています。
つまり, (元の変数)=(新変数の関数) の形式を取っているのです。
数3の置換積分の計算では, (新変数)=(元の変数の関数) の形式で与えるもの,
(元の変数)=(新変数の関数) の形式で与えるもの,両方が演習問題で出てくるため,
いつの間にか「どっちの形式でやってもいいんだ」という理解にすり替わってしまうことがあります。
その結果,ミスが生まれてしまうわけなのですが,
「 (元の変数)=(新変数の関数) とおいてはいけない」というのもまた正しくはないんですよね。

 (新変数)=(元の変数の関数) の形式に直せるなら (元の変数)=(新変数の関数) とおいても良いのです~
つまり,微分可能な逆関数を持てば良いわけです~ nezumi02.gif

例えば,元の変数が x ,新変数が t であるとして,
x=t+5 のような置換なら t=x-5 と直せるから何も問題はないのです。
では,今回の  x=3tanθ という置換についてはどうでしょうか。
θ=( x の関数) の形式に直せればよいわけですが,
まず,逆三角関数が必要になり,高校数学の範囲を超えてしまいます。
それに関しては「逆関数を θ=g(x) とおく」として処理すれば良いのでさして問題ではないです。
それより注意しなければならないのは, x=3tanθ は θ の範囲を制限しないと
x と θ が連続的に1対1に対応しないということです 05(1).gif


f7_20151213134110cca.jpg


 に制限すると, x と θ は連続的に1対1に対応し,これを  
と表すことにします。同様に,  に制限しても x と θ は連続的に1対1に対応し,
これを  と表すことにします。


冒頭に挙げた2つの解答例(ア)(イ)を見てみると,(ア)は   の置換を施したものになっていて正しいです。
一方,(イ)は  と   が混在しています。
 では x=3tanθ 連続的な逆関数を持たないので,(イ)の計算は誤っています~

したがって,(ア)は次のように書き換えることが出来ます~ 8184765.gif




f8_20151213134110af3.jpg


置換積分の公式に当てはめようとするならば,    の場合を想定すると良いです。


f9_201512131341110a7.jpg

f10_201512131341121f7.jpg





   
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