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2015年 京大特色入試第1問

2015.12.18 04:39|大学入試問題
どもども。

先日,今年の京大特色入試の話題になってたコインの問題を取り挙げたので,
ついでなんで残りの問題にも目を向けてみたいと思います~


今回は第1問をみてみます~

問題はこちら~~ 箱ドットおにおん2mini

n を 2 以上の整数とする。原点 O を中心とした半径1の円周を n 等分する点を時計回りに
  とする。これら n 点から無作為に 1 点を選ぶ試行を独立に 3 回繰り返し,
3 点  P,Q,R を順に選ぶ。ただし, P,Q,R は重複を許して選び,どの n 点も同じ確からしさで選ぶものとする。
に対し, P,Q,R がそれぞれ   である確率を  とする。
3 点   が異なるとき,三角形  の面積を とおく。
また,3 点に重複があるとき, とおく。



とおく。  を求めよ。また,  を求めよ。



何やら長ったらしい問題文ですが,要は三角形の面積の期待値を求める問題です。
説明がくどいのは,期待値が数Bの統計分野に移行してしまったので,受験生が「期待値」という単語を知らない可能性が
あることに配慮したものなのでしょうか。こんなムズい問題が解けるような人たちなら「期待値」くらい知ってそうなものですが,
受験したのは数学が大好きな数学科志望の人たちばかりではないですからね。

なかなか重たい計算が課せられる問題です~
どういうアプローチで攻めていけば楽なんだろうかということでしばらく悩みそうです。
それで計算の入口あたりをあーでもないこーでもないと彷徨ってしまいそうです~


まずは j=0 かつ 3 点   が時計回りに並んでいる場合に着目してみます~ tree02.gif

g1_20151217014449f90.jpg




の3つの角に着目してみると,これらの和はいつでも 2π に等しく, x+y+z=n を満たしています~
面積が0になってしまうパターンについては  に本質的に影響を及ぼさないので,
x,y,z がすべて自然数になるパターンを考察すれば十分です。
 が鋭角三角形,直角三角形,鈍角三角形のいずれであっても,



が成り立ちます~ star-ani01.gif



g2_20151217014450b92.jpg

j=1,2,3,.......,n-1 の場合も同様に考えることができ,またそれぞれにおいて3 点   が
反時計回りに並んでいる場合も加味しなければいけません~ senpuki04.gif

組 (j,k,l) は  通り考えられ,それぞれが等確率  で起こります~
したがって,上述の形式で表せる面積たちの総和に  をかけたものが期待値  と等しくなります~

より簡潔な形を目指すため,あれやこれやと式変形を施していきます~


g3 1


有限和なので,どの項から足し合わせるかという順番は自由に変えることが出来ます~
x+y の値が一定値 k である項たちを先に足し合わせ,それを k=2,3,4,......,n-1 の分だけ和を取る
という方針で丹念に式変形を施していきたいと思います~ santa03.gif




g3 2
  g4_201512170144510ac.jpg


だいぶ計算のしやすそうな形にまで変形ができました~ kusyami01.gif
さて,上式の前半部分の和についてですが,1の n 乗根   
と関連付けて考えたりすると分かりやすいと思いますが,和が0になります~


g5_20151217014452201.jpg


もう一方の和はちょっと面倒そうです~

 の導関数を利用して計算してみます~


g6_20151217014453515.jpg

g7_201512170145111c4.jpg



なんとか答えまで辿り着きました~ hiyoko03(1).gif


なお,極限値を出すだけだったら区分求積法を用いてもうちょい早く答えに到達することが可能です~


g8_20151217014511ff0.jpg
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