プロフィール

mathnegi

Author:mathnegi
ゆる~い人間です(*´ヮ`*)
宮城県在住~

カレンダー

07 | 2017/08 | 09
- - 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 - -

最新記事

全記事リスト

全ての記事を表示する

最新コメント

月別アーカイブ

カテゴリ

閲覧者数

検索フォーム

RSSリンクの表示

リンク

ブロとも申請フォーム

この人とブロともになる

QRコード

QR

電卓だよん♪

電 卓

お問い合わせはこちらまで~♪

名前:
メール:
件名:
本文:

受験ブログ 大学受験(指導・勉強法)へ

スポンサーサイト

--.--.-- --:--|スポンサー広告
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

2015年 京大特色入試第2問

2015.12.21 22:14|大学入試問題
どもども。


前回に引き続き,今回も京大の特色入試の数学を取り上げます~
第2問を見てみましょう~


問題はこちら~ 箱ドットおにおん2mini


0 ≦x≦1 の範囲で定義された連続関数 f(x) に対し,x が 0≦ x ≦1 の範囲を動くときの f(x) の最大
値を  とおく。以下の設問に答えよ。
(1) 0 ≦x≦1 の範囲で定義された狭義単調増加な連続関数 f(x) に対し,以下の不等式が成立することを示せ。



ただし,f(x) が狭義単調増加であるとは,「 x < y ならば f(x) < f(y) 」を満たすことをいう。
(2)以下の条件 (A) を満たすような実数 C は存在しないことを示せ。
(A) 0 ≦x≦1 の範囲で定義されたどのような連続関数 f(x) に対しても,不等式



が成立する。









微積分の問題です~
4つある大問の中では一番取り組みやすいものになっているような気がします~
さほど突飛な発想は必要としないし計算量も多くありません~



(1)から見てみます~
定積分を,それが表す面積に置き換えて図形的なイメージを持ちながら考えると割とやりやすいです。
0 ≦x≦1 の範囲で定義された狭義単調増加な連続関数 f(x) を考えますが,
0 ≦x≦1 の範囲でずっと0以上なのか,0以下なのか,正にも負にもなるのか,3つの場合があります。
ずっと0以上か,0以下の場合はかなり取り扱いが簡単なので先に処理しておきます~

ずっと0以上からいきますが,これは f(0)≧0 ということと同等です。
 
とおくとき, f(x)≧0 だけでなく S(x)≧0 も成り立つので,示すべき不等式は絶対値記号の取れた形で取り扱えるため
処理が簡単になるというわけです~ eto_u.gif

h1_20151219125057d79.jpg
h2_2015121912570810c.jpg


0 ≦x≦1 の範囲でつねに f(x)≦0 の場合は, f(1)≦0 と同等です~
|S(x)|=-S(x) は単調増加になっています~


h3_20151219125058d9d.jpg
h4_20151219125058bc8.jpg



面倒なのは f(x) が正にも負にもなる場合です~
f(x) は連続関数なので,方程式 f(x)=0 は実数解を必ず持つことになりますが,
狭義単調増加の仮定から解はただ1個です~
それを x=a とおいておきます。
0≦x<a では f(x)<0, a<x≦1 では f(x)>0 になっています。
  と     を比較したときにどちらが大きいのか,
そこがポイントになってきます。この2つの値の大小が S(1) の符号を決めます hearts_pink.gif

まずは S(1)≧0 の場合を見ていきます~
これはつまり,  が成り立つ場合に当たります~

このとき,  の最大値は  か  のどちらか大きい方になります~
どちらの場合でも証明すべき不等式が成り立つことを確かめてみます~ kaeru_en2.gif





h5_20151219125059595.jpg
h6_2015121912510096c.jpg
h7_20151219125129760.jpg

h8_20151219125130fb2.jpg


最後に    の場合を考えてみます~
この場合は先程よりかは簡単です~


h9_2015121912513057c.jpg
h10_20151219125131108.jpg




次いで(2)です~

どのように定数 C を選んだとしても,何らかの f(x) によって



の成立が阻まれることを示す問題です~

狭義単調増加の f(x) を持ってきた場合は C=3 で不等式が必ず成り立ってしまうため,
狭義単調増加ではない f(x) を選んでくる必要があります。

任意に選んだ C に対して,不等式が成り立たなくなる f(x) を実際に構成してみたいと思います~
はじめは (1) の結果を巧みに利用していきながら構成するのかな,とか思ったんですが
そんなこともなく割と簡単に構成が可能でした~

例えば下図のような周期  の折れ線を考えます~~ m_0143.gif



h11_20151219125132050.jpg
h12_2015121912513255b.jpg





 が周期  の周期関数になっています~
面積が増えては打ち消され,増えては打ち消されの繰り返しになっていて,最も増えきった部分で最大値です。
しかも n に関して単調減少です。一方で    は定値です。
n を十分大きくすると与不等式が成り立たなくなってしまいます~ m_0234.gif



h13_20151219125141cf9.jpg



サインカーブを利用して f(x) を構成することも出来ますね。
周期的な構造があればいくらでも別の例が構成できます~




   
関連記事
スポンサーサイト

テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

コメント

わかりやすいです!

2013年京大の相似でもベクトルでも解ける問題を学校の冬季講習でやっていたのですがつまづいてしまって調べた結果このブログに来ました!*\(^o^)/*

めっちゃわかりやすいし、絵も可愛いです!
解き方沢山あるので身になります!!
ありがとうございます!ブクマしたのでこれからも見ます!(^O^)/

メリークリスマス!

No title

コメントありがとうございます~

あの図形の大問は高度な知識がなくても解ける夢のある問題でしたねー
冬期講習の予習とかでしょうか~
実際の授業ではやっぱベクトルを使った解説がされるんですかね~

数学って難しいのでゆるく可愛く遊びながら勉強したいですよねー
ぜひ遊び心を織り交ぜながら勉強に励んでくださいv-15
ブクマありがとうござークリスマス!v-255
非公開コメント

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。