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2015年 京大特色入試第4問

2015.12.27 14:41|大学入試問題
どもども。


今回は今年の京大特色入試の数学の第4問を眺めてみます~

問題はこちら~ わんちゃんmini


以下の条件をすべて満たす数列  は存在するか。
(条件 1)  すべての自然数 n に対して, および は自然数である。
(条件 2)  すべての自然数 n,m に対して,不等式



が成立する。
(条件 3)  どのような自然数 a, b に対しても,自然数 n を適切に選べば不等式



が成立する。





数列の問題ですが,実質的に格子点がテーマの問題になっています~ taxi02.gif
2つの数列  が出てきますが,各自然数 n に対して xy 平面上の格子点  を
対応させて,条件2,3も格子点に関する条件に読み替えてしまうことが出来ます~



ここで,「距離」についての余談を挟んでおきます~
xy 平面上の2点 A(p,q) と B(r,s) の間の距離 d(A,B) といえば,
 で与えられますね。
この「距離」に関しては,  や,
 や,
 (三角不等式) といった性質が成り立ちます。

数学の業界では,既存の概念を抽象化,一般化することが定番の流れになっています。
上記のような性質を持っていればそれは「距離」と呼んで良いことにしよう~  という発想があり,
普段用いている「距離」(ユークリッド距離といいます)とは全く別の「距離」を考えることが出来ます。

例えば, xy 平面上の2点 A(p,q) と B(r,s) の間の距離 d(A,B) を

として定義することも出来ます。これはマンハッタン距離と呼ばれています。
当然ながらユークリッド距離とマンハッタン距離は一般に値が異なります。
原点と(1,1)の距離は,ユークリッド距離で考えると  ,
マンハッタン距離で考えると2になります。
マンハッタン距離で考えると,原点を中心とする半径 R の円というのは,
4点 (R,0),(-R,0),(0,R),(0,-R)を頂点に持つ正方形になってしまいます~ osake02.gif



……な~~んてあたりのことを頭においておくと,
第1象限に含まれる格子点の列  に対して,
条件2は 
と表せます~ ここで「距離」はマンハッタン距離を採用しています。
条件3は第1象限に含まれる任意の格子点 A(a,b) に対して, 
 が成り立つような n が必ずあることを意味しているので,
これはつまり A を中心とする半径100の円の中には必ず何らかの  がある
ということを指しています kinoko02(1).gif


i1_2015122713072789e.jpg


i2_20151227130728cc4.jpg



条件1~3すべてを満たす点列   が存在すると仮定します~
結果をいうと,そのような点列は「存在しない」というのが結論になるのですが,
これを背理法で示していきますよ~ heri01.gif

a と b が自然数ならば S(a,b|100) は必ず何かしらの  を含んでいます。
そこで, R>0 を任意にとってきて,それに伴って a と b を十分大きい値としてとっておきます。
どれくらい大きく取ればいいかというと, S(a,b|100) はいくつかの  を含んでいますが,
それらを中心とする半径Rの円たちを考えたとき
その円たちの中に第1象限にすっぽり含まれているようなものが少なくとも1個あれば十分です。
もちろん半径Rの円というのは,ここでは対角線の長さが 2R の正方形です~

というわけで,  はすっぽりと第1象限に含まれていると仮定しておきます~
 に含まれる格子点の個数は R の2次関数で表せますが,
条件2から,  に含まれ得るような  たちの個数は R の1次関数になっています。
その結果, R が十分大きいと,  に含まれている  たちが少なすぎて,
 の中の格子点のうち,条件3をクリアできないものが出てきてしまうという筋書きで攻めてみます~ been.gif



i2 5
i3_20151227130728ccc.jpg


i4_20151227130729f98.jpg
i5_201512271307294b8.jpg


i6_20151227130758b4f.jpg



こうしてみると,条件2の式の最後の「+100」という項にどれだけ意義があったのかという点は疑問が残りますね。
実はもっと別のアプローチを想定していて,その際に何か存在感を発揮するのかもしれません~



   
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コメント

独り言的なつぶやき

こんな問題たちをゆるゆる~っとさばいていく様は本当に驚くばかりです、、、。以前数オリ関連でよくお世話になっていて、久しぶりにやって来たのですが、こんなものまで解説していたなんて、、、。少なくとも高校数学は無敵なんでしょうね、本当に凄い、、、。

No title

コメントありがとうございます~

自分はまだまだ中途半端な感じです,無敵なんかではなく敵だらけです~
上には上がいます,めっちゃたくさんいます。
羨ましいな~と思うひらめきの持ち主がたくさんいますね。
まぁあまり深く考えずに目の前の数学をゆるゆると楽しむ,それでいいと思いますよ~
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