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平成24年度宮城県公立高校入試数学 第四問 その2

2012.09.15 00:00|高校入試問題
どもども。


前回の続きで,今年の宮城県公立高校入試の数学第四問をやっていきます~~

問題はこちら~~もなたんぺんぎんmini

mon4 1

図I
   zu1.jpg

図II
    zu2.jpg


mon4 2

図III
   zu3.jpg

     mon4 3

mon4 4

図IV
    zu4.jpg



今回は3からやっていきますよ~

BE:FD=13:8のとき,△ABGと△EFDの面積比を求めよという問題です~
なかなか厄介ですね~suika.gif
ポイントに気付けないと苦戦するかもしれません。

そのポイントと言うのは,中点連結定理からGE:FD=1:2になることですstar03.gif
これに気付けるとだいぶ答えに近付けると思います~
第2のポイントは高さの等しい三角形の面積比が求められるかどうかですstar05.gif

面積比の計算は慣れるとそんなに難しくなくて自分は結構好きなんですが
実は苦手とする人が意外と多いんですよね。
面積比の計算を使えば色んな三角形の相似とか使って解くような複雑な図形問題が
簡単に解けてしまう
ことも多くて,かなり裏技的要素(詳しくはこちら)があるんですが
慣れないうちはワケがよくわからないようです。

合同や相似や円の性質に関する練習問題は受験に向けてたくさんやるでしょうが
面積比の問題というのはちょっとマイナーになるというか
おざなりになりやすい部分である気がしますsaboten.gif

d11_20120913145432.jpg

重要な内容は,実はいたってシンプルで,
上図のような状況ではBDとDCを底辺としてみれば△ABDと△ADCは高さが等しくなるので面積比は底辺の比と一致してしまうということです。
底辺分割という言葉で呼ばれることが多いですjitensya.gif


今回の問題の図形では,例えばAE=EDが成り立つので,
△FEA:△FED=AE:ED=1:1 すなわち△FEA=△FEDが成り立ちます。
同様にAG=GFが成り立つので,
△BAG:△BFG=AG:GF=1:1 すなわち△BAG=△BFGが成り立ちます。

また,△AGE=(1/2)△FAE=(1/2){(1/2)△AFD}=(1/4)△AFD なので
△AGE:△AFD=(1/4)△AFD:△AFD=1:4
のような計算をしたりします。



さて,では解いていきますが,ポイントは上記の通りですが,
やり方自体は色々あるようですhanaji03.gif

hana14.gif△ABGを底辺分割の原理を使って△FEDの何倍か求める

上記で説明した底辺分割を使って△ABG=(9/8)△EFDであることを求めてみます。
EG:DF=1:2を敢えて4:8に直すことによって,
EB:DF=13:8と合体させてEB:EG:DF=13:4:8がわかります。
あとは△ABGと△AGE,△AGEと△AFE,△AFEと△EFDの面積比の関係を経由して答えを出します。

d9_20120913145355.jpg




hana14.gif(1/2)×底辺×高さの面積公式を利用する

BG:GE=9:4を求めるところまではさっきと同じです。
∠AGB=∠GFD=90°なので,
△ABGと△EFDの面積をおなじみの(1/2)×底辺×高さの面積公式を使って表すことができますh-jitensya.gif
△ABGを底辺BG,高さAGとみて,△EFDは底辺FD,高さFGとみます。
AG=FGとBG:DF=9:8であることを利用して面積比を計算します~

d10_20120913145355.jpg




hana14.gif△ABG∽△DAF∽△EAGを利用する

中点連結定理というのは△DAF∽△EAG (相似比2:1)であることを言い換えてるだけなので,
直接に中点連結定理に触れずとも,相似計算で処理してしまうことも可能ですgardening01.gif

d12_20120913145432.jpg





hana14.gif三平方の定理と相似を利用する
△DAF∽△EAGではなく△EBA∽△EAGに着目する手もあります~
直角三角形がたくさんあるので,三平方の定理も有用ですfuurin03.gif

d13_20120913145433.jpg




hana14.gif△FBGと△EFDを比べる

AG=GFより,△ABG=△FBGです。
よって△FBGと△EFDの面積比を比べてもいいわけですね!
BE//DFより,△FBGと△EFDはBGとFDをそれぞれ底辺と見たときに高さがFGに等しくなります。よって底辺の比BG:FDがそのまま面積比になります~egg03.gif

d14_20120913145433.jpg



hana14.gif相似な三角形の面積比は相似比の2乗の比になることを利用する

相似な三角形の面積比は相似比の2乗の比になる
という事実があるのですが,これは中3の学習内容だったんですけどしばらく高校に移行になっていました。今年の春からの新指導要領では再び中3に帰ってきましたcurry02.gif

まだ△BAF∽△EFDを利用した解法が挙がってなかったので
今回は△BAF∽△EFDの相似比にこれを適用してみましょーcar02.gif


d15_20120913145434.jpg
d16_20120913145434.jpg







……このように,実は色々な解法がある問題でした。
それでも正答率はイマイチだったんじゃないかなーという印象です。
次回はA問題の大問5をやっていきますよ~c-11.gif







      
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ジャンル:学校・教育

タグ:宮城県 公立高校入試 入試問題 折り紙 折り返し 合同 中点連結定理 平行 直角

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