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2016明けましておめでとうございます 2

2016.01.10 00:48|数学
どもども。

前回挙げた練習問題のうち,問1,2について考えてみます~~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90



では問1からいきましょう~

問1.
n を自然数,0≦k≦n,0≦ℓ≦nとする。2の累乗たちの和 
を考えたはずだったが,途中にある  の項だけ誤って別の  を足してしまったところ,
和の値が2016になった。 k,ℓ,n の値をそれぞれ求めよ。




 
は初項1,公比2の等比数列の初項から第 n+1 項までの和なので,  に等しいです。
実際は和の中に  が入っていなくて代わりに  が入っているので,



の値を出したことになります。この値が2016だったということですね~



を満たす n,k,ℓ を見つければ良いことになります~
n+1≠0 なので, k,ℓ がともに0でなければ上式の左辺は偶数になってしまい不合理です。
k か ℓ のうち一方は0でなければいけません。
どちらが0になるかで場合分けして考えていくという方針で攻めていけそうです~ eto_tatsu.gif


j1_201601091609142a4.jpg
j2_20160109160915ec1.jpg
j3_2016010916091635a.jpg



j4_20160109160916c61.jpg

j5_20160109160917a9a.jpg



答えが出ましたね~



が成り立つということですね。

2015年のはじめに 
というのが  だけ抜けてて惜しいなぁ~
という話を載せていたのですが,それを元にして即興で作った問題でした~



であることも頭においておきたいです。
何かしらの2016問題で役立つかもしれません。





続いて問2を見ていきましょう~~


問2.
n を自然数とする。自然数の3乗たちの和  を考えたはずだったが,
途中にある2つの項を足し忘れてしまったところ,和の値が2016になった。 n の値と抜け落ちた2項を求めよ。




問1と似たような問題なので,考え方も近いです~
抜け落ちた2項を  とすると,



なので,



となる n,a,b を見つければよいわけですね。
未知の値が3個ありますが, n についてはかなり絞り込めます。
n があまりに小さいと2項を抜く前の3乗和の時点で2016に届いてなかったりしますし,
n があまりに大きいと,どの2項を抜いても残りの和が2016より大きくなってしまいます。
このことに着目すると,はじめから n=9,10 に絞れちゃいます~ nakioni.gif



j6_20160109160918faf.jpg
j7_20160109160942b34.jpg
j8_20160109160943dba.jpg




が成り立つということですね rabi_happy.gif
2016に関する等式集に入ってたので即席でムリヤリこの関係式を使った問題作りました~




   
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