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2016明けましておめでとうございます 3

2016.01.10 21:23|数学
どもども。


前々回の問3について考えていきます~ 箱ドットおにおんmini

問3.
 の下4桁部分が2016になるような4桁の自然数 n をすべて求めよ。


今回はこの問題を2通りの手法で考えてみます~

n の1000,100,10,1の位の数字をそれぞれ a,b,c,d とおいて,
n=1000a+100b+10c+d と表し, a,b,c,d の値を決めていこうという方針と,
  ( k は自然数) とおいて n を絞り込んでいく方針です~ yotuba13.gif



前者からいってみましょう~
 の展開式を考えたとき,
常に10000以上の値になる項は無視してよいです。



とおいて,これの下4桁が2016になるように値を決めていきます~

自然数 k の1の位の数字を f(k) とおくことにしましょう。
このとき,2つの自然数 A と B について f(A+B)=f(f(A)+f(B)) が成り立ちます。
A=10C+f(A), B=10D+f(B), f(A)+f(B)=10E+f(f(A)+f(B)) とおくと, 
A+B の10の位は f(C+D+E)=f(f(C)+f(D)+E) と表せます。 E は0か1のどちらかですね。
このような考え方を使っていきます~ m_0030.gif

N の1の位を決めるのに関わってくるのは  の項だけですね。
この時点で d= 4 または 6 の2つに絞れてしまいます~

d=4 のときと d=6 のときで場合分けして考えていきます。
c,b,a の順に値を決めていきましょう~


k1_201601101458129db.jpg


k2_20160110145812fa4.jpg

k3_201601101458135cf.jpg
k4_20160110145813520.jpg


k5_20160110145814e12.jpg


   k6_2016011014581516a.jpg



丁寧な場合分けが必要なので疲れますが,この手法なら「下●桁の数字が▲▲▲」のような問題で
毎回同じように機械的に処理ができます~ m_0194.gif

次は   ( k は自然数) とおく方針でやってみます~
こちらの手法は10000,2016の部分がどういう数字かによって着眼点を器用に変えてかなきゃいけないですね。

今回の場合,右辺は16の倍数なので n は4の倍数でなければいけません。
n=4a とおいてみると,  が成り立ちますが,
右辺が5で割ると1余る自然数であることに着目すると, a は5で割ったときの余りが1または4でなきゃいけません。
…といった具合にどんどん n としてあり得るものの形を追い詰めていきます~ star.gif



k7_20160110145852aad.jpg
  k8_2016011014585319e.jpg




   k9_20160110145853cbe.jpg




  
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