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2016明けましておめでとうございます 4

2016.01.11 14:16|数学
どもども。


前回の続きで問4を見てみます~ げろ



問4.






などのように,  を途中に2つの区切りを入れて3つの和に分けて,それらの積を考える。
この積の値が2016になるような, n の値と区切りの入れ方を答えよ。




例えば n=6 のときは
(1+2)×(3+4)×(5×6)=630
1×(2+3+4)×(5×6)=270
などのような分割が考えられたりするわけですね。

n=a+b+c として,
 を







の3つに分割してその積を考えてみます~
等差数列の和の公式から



すなわち



が成り立ちます~
従って, a,b,c,a+1,2a+b+1,2a+2b+c+1 の6つはすべて  の
約数でなければいけないのである程度絞りこみは可能そうです。
しかしながら,  の正の約数は 9×3×2=54(個) もあるので,ちょいとしんどいです~

a と a+1 に着目してみましょう~
この2つは連続する自然数です。 それらがともに  の正の約数であるという観点からすれば
a の値は更に絞り込みができそうです。
でも連続2整数である  の正の約数っていうのも意外とたくさんあったりします。
1と2,2と3,3と4などのほかにも63と64など,割と大きめの約数たちの中にも紛れていたりします。

ここでもう1つのポイントに着目してみます。
a と a+1 は連続する自然数なので,一方が奇数,そしてもう一方が偶数です。
これは b と 2a+b+1 にもいえるし, c と 2a+2b+c+1 にもいえます。
a,b,c,a+1,2a+b+1,2a+2b+c+1 のうち3つが奇数,3つが偶数だってことが分かってるんですね。
  の正の約数で奇数であるものは 3×2=6(個) しかないので
これは絞り込みにかなり有効に活用できそうです~ patikapa.gif

a が奇数だとするとその候補は6個,その中で a+1 も   の約数になっているものを選びます。
a+1 が奇数だとするとその候補は6個,その中で a も   の約数になっているものを選びます。

例えば a=1,a+1=2 は条件を満たしますね。このとき次は b と 2a+b+1=b+3 について
同じように考えていけばよいわけです~
a=1 の場合は b の候補がいろいろあって少し面倒ですが, a の値が大きくなるにつれて
どんどん考察は楽になっていくので,頑張って調べていきましょう~ s2_sum_sunflower.gif



l1_20160111134946458.jpg
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l7_20160111135026826.jpg


やっと成り立つものが出てきました~ usagi.gif


あと一歩です~



l8_2016011113502737c.jpg








結局,  の1通りしかないんですね win_snowman.gif






      l10_20160111135028856.jpg





    
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