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2016明けましておめでとうございます 5

2016.01.14 12:55|数学
どもども。



残り1問をやっつけます~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90





問5.
M を自然数とする。



を10進小数で表示したとき,有限小数になるような M の値を求めよ。







M の値によらず無限等比級数の部分は収束します~
M≧5 のときは循環節が 000…031746 (0の個数は M-5 個) であるような循環小数表示を持ちます~
唐突に出てきた感のある 31746 という数字ですが,



の循環節に現れる数字です~
031746 を循環節に持つので, M=6 のときには問題文で与えられた数式の値は
綺麗に循環部分が打ち消されて有限小数になってしまうことを見出すことが出来ますね。
では M=6 以外に綺麗に打ち消されるようなことは起きるのか。
という点について考えていく問題とも言えます。


まずは基本的なことですが,有限小数表示を持つ実数は有理数です。
適当な10の累乗をかければ整数になってしまうからですね。
その有理数を既約分数で表したとすると,分母の整数は素因数として持てる素数は2と5のみです girl_jewel_r.gif



m1_20160114121642db6.jpg



さて,無限等比級数部分の和は  なので,




を小数表示したときに有限小数になっているためには,
右辺の分数を既約分数に直したときに分母が2と5以外の素因数を持たなければよいわけです~

2016は3と7を素因数に持つので,これらは分子と相殺されないといけないです。
 もまた 9999…99 (9が M 個並んでいる) という数なので,
9の倍数になっていたり, M の値によって様々な素因数を持っていたりします。
余計な素因数が残らないように約分が行われなければならないというのはなかなか大変ですね。

とりあえず 2016=32×63 が持つ63を約分してしまえる条件を考えてみます~
 が63の倍数であればよいですね。
M によらず9の倍数であることは分かっています。
7の倍数であるための条件は M が6の倍数であることで,
またそのとき  は999999の倍数であることに着目して攻めていきます~ tanuki.gif



m2_20160114121643348.jpg
m3_2016011412164303e.jpg
m4_2016011412164483b.jpg



結局 M=6 の場合しかありませんでした~ teng.gif






                               l9_2016011113502825a.jpg







    
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