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2016年センター試験数学1A 第1問その1

2016.01.21 13:59|大学入試問題
どもども。

先日,今年もセンター試験が実施されました
昨年は数学2Bが大波乱でしたが今年は1Aも2Bも並みの難しさという印象です~

1Aについて言えば,2次関数の単元からの出題が簡単な連立2次不等式がちょっとあるだけという
珍しい構成になっていました~
また,昨年はデータの分析が独立して1つの大問を形成していたのに対し,
今年は必答大問が2つだけで,データは大問2の後半に組み込まれ,前半の三角比との2部構成になっていました。


今回は第1問について見ていきます~
この大問はやや易しめの印象です~
「1次関数・1次不等式の問題」,「論理と命題」,「2次不等式」の3部構成になっています。

はじめの「1次関数・1次不等式の問題」について見ていきましょう~ bakezouri.gif

a という文字定数が入った1次関数



の 0≦x≦1 における考察がテーマになっています~
この範囲において常に  が成り立っているような a の範囲を求めたい
というゴールに向かって誘導が敷かれています。

まずは f(x) を1次関数の標準形 Ax+B の形に直す設問があります。
x について整理するだけなので特に障害はないと思います。
とりあえずはじめの設問を難なくクリアして勢いづきたいところですね clover.gif

o1_20160121123702aa2.jpg


傾き部分にも a が含まれているので, a の値次第で傾きは正にも負にも0にもなり得ます。
傾きが正ならグラフが右上がりの直線となり, 0≦x≦1 における最小値は f(0) になります。
傾きが負ならグラフが右下がりの直線となり, 0≦x≦1 における最小値は f(1) になります。
傾きが0ならグラフが x 軸と平行な直線となり, 0≦x≦1 において定数関数になります。
その場合は f(0) と f(1) どちらも同じ値であり一応それが最小値です。 

o2_20160121123703143.jpg



これを踏まえて, 0≦x≦1 において常に  が成り立っているような
a の範囲を求めたいと思います~

0≦x≦1 における f(x) の最小値を m とし,最小値を与える x の値を x=k とします。
つまり, f(k)=m が最小値であるということですね。
このとき, 0≦x≦1 であるようなすべての x に対して f(x)≧m が成り立っていることになります。
さて, k は 0≦x≦1 に含まれる数なので,設問の条件から 
 すなわち  が成り立たなければいけません。
一方で,それが成り立ってさえすれば, f(x)≧m と合わせて  が得られます~
したがって,問題の条件が成り立つための必要十分条件は  ということになります~ dog_love.gif

m の値は a 次第で変わるので前設問のときの場合分けに沿って考えていきましょう~


o3_20160121123704f5e.jpg





今の解答では a の範囲に関する場合分けを用いていましたが,
この場合分けは実は回避も可能です~

x=0,1 は 0≦x≦1 にもちろん含まれているので,
設問の条件から  かつ  が成り立っていなければなりません。
一方で,前設問から a の値がなんであれ, 0≦x≦1 においては必ず f(x)≧f(0) または f(x)≧f(1) が
成り立つことが分かっています。
ということは,   かつ  が成り立ってさえすれば,
「 f(x)≧f(0) または f(x)≧f(1) 」と合わせることで,   が得られてしまいます~ eto_tora.gif




o5_20160121123705058.jpg




ひととおり解き終わりましたが,参考のため,ここでもう一度問題のはじめに戻ってみます。
f(x) ははじめ f(x)=A(1-x)+Bx という形で与えられていました。
ベクトルの単元でよく見る形ですね。  こういうのです。
0≦t≦1 のとき,点Oを起点とする位置ベクトルを考えると点Pは線分AB上の点を表しますね。
これと同じように考えると,数直線上において点 1+2a と点 2-a の間を x:(1-x) に内分する点を
表すのが f(x) だといえます。
a の値によって, 1+2a≦2-a なのか 1+2a>2-a なのか変わってきますが,
1+2a≦2-a であるときは f(x) は点 1+2a と重なるときに最小になり,
1+2a>2-a であるときは f(x) は点 2-a と重なるときに最小になるのです~


o4_2016012112370446a.jpg





論理と命題と2次不等式の問題はまた次回に取り上げてみます~ hamster_2.gif






  
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