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2016年センター試験数学1A 第1問その2

2016.01.22 00:14|大学入試問題
どもども。

前回の続きで今年のセンター数学1Aの第1問を見ていきます~ げろ



論理と命題部分の設問を考えていきます~

Aを有理数全体からなる集合,Bを無理数全体からなる集合とします~
はじめは,4つの命題が挙げられていて,それらがすべて真の命題になるように空欄を補充するという設問になっています。

集合記号についてしっかりした知識があれば決して難しい問題ではないですが,
集合記号に弱い受験生はかなりいたんじゃないでしょうか~

(i)から見ていきましょう~
ポイントは数字の0と集合 {0} を明確に見分けることになるかと思います。
見た目も内容もほとんど同じなのですが, {0} を数字の0と誤認してしまうと答えを間違ってしまいます。
{0} は0のみを要素に持つ集合であって,数字ではありません~ kaeru_en1.gif

「ウルトラマン」という作品に登場する正義のヒーロー,ウルトラマン。
前者のウルトラマンは作品名・番組名であってキャラクター名ではありません。
後者のウルトラマンはキャラクター名であって作品名・番組名ではありません。
見た目は一緒でも指している対象が違っています。
{0} という集合に属している要素の0,ここに出てくる2つの0はその意味が違うのです~

0は有理数なので, {0} はAの真部分集合になっています。
したがって,  ということになります~
ちなみに数字の0については,  が正しいです~

o71.jpg


(ii)を見てみます~
 は無理数なので,  が正しいです~


o72.jpg


(iii)を見てみます~
 であったので,  が正しいです~


(iv)を見てみます~
有理数でない実数が無理数なので,AとBに共通部分はありません。
したがって,  となります~~



では命題と論理後半戦です~~ m_0034.gif
実数 x に関する3つの条件が与えられています~

p:  は無理数
q:  は有理数
r:  は有理数



ほぼ毎年恒例の必要条件・十分条件・必要十分条件に関する考察の設問です~

pはqであるための何条件か?と問われています~
「かつ」や「または」や否定の含まれていないシンプルな設問で助かりますね。
中身もよくあるタイプの引っ掛け問題になっています。

「pならばq」は偽です。例えば  とすれば,  は有理数ではありません。
「qならばp」は真です。もし x が有理数だったなら,   (a,b,m,n は整数でaとmは0以外)
のように書けるので,  より,無理数=有理数となり不合理です。
よって x は無理数でなければいけません~
したがって,pはqであるための必要条件だけど十分条件ではありません m_0100.gif
ちなみに,  などとしてみればqが成り立ちます。


次はpはrであるための何条件か?ということですが,
「pならばr」は偽です。例えば,  とすると,  は無理数です~
「rならばp」も偽です~ 例えば x=0 とすれば,  となるので,
rが成り立ってもpが成り立つとは限らないわけです。
前半で {0} がAに含まれるとかやってる辺りはもしかしたら伏線だったのかもしれません。
したがって,pはqであるための必要条件でも十分条件でもありません~~ m_0102.gif

どちらでもないっていうのが答えになるのはちょっと珍しい気もしますね~





さて大問1のラストは連立2次不等式の問題です~~
「2次関数」を扱う問題が出てこないという珍しい展開ですね。






(1)を解く設問から始まっています。
係数をジーっと眺めてみれば因数分解には気付けるんじゃないかと思いますが,
うまくいかなければたすきがけや2次方程式の解の公式に頼っても良いでしょう。
ただ問題冊子をよく見ると,  の方がネタバレしちゃってるんですよね~
(1)の左辺が  を因数に持つことがバレてしまっています。

(2)の方は更に因数分解が簡単にできる形になっていますね。
なお, a≧1 にも気をつけてくださいね。


そして(1)(2)両方を満たす負の実数が存在する範囲を求めなければいけません~
-20≦x≦-4a を満たす実数があれば良いので-20≦-4a を満たせば良いことになります m_0228.gif
ここでも a≧1 には気をつけてください~


o6_20160121123706fc0.jpg





    
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