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2016年センター試験数学1A 第2問その1

2016.01.23 02:02|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター数学1A第2問の三角比の問題を考えてみます~ 箱ドットおにおん2mini



p1_20160122030603761.jpg


三角比を題材にした動点問題で,昨年に続き出題されました~
点が動くため図が1通りに定まらず,条件に見合う状況を正しく思い描けるかどうかがポイントになってきます。

△ABCとその外接円が与えられています。
Cを含む方の孤ABをPが動きます~
円周角の定理からPがどこにあっても, ∠P=∠C=60° になっています~ aobara.gif
そのことを覚えておきましょう~

まずは外接円の半径を求める設問があるのでさくっと出しておきましょう~
正弦定理を利用すれば良いですね。

p3_2016012203060418e.jpg

正弦定理を使わずに,円の直径を斜辺に持つ直角三角形に着目するという方針でも良いです~
(正弦定理を証明する際に利用する考え方ですね)


p4_20160122030605701.jpg



ここからは動点Pの出番です。
そして,ここから先はもうCの存在はスルーしてしまって構いません~

まずは(1)の 2PA=3PB となるのはPAのながさがどうなるときか?という設問です~

PA:PB=3:2 となるということなので, PA>PB です。
図としてはPAの方が長くなるようなものを描いて考えると良いでしょう~
比が3:2なので, PA=3k, PB=2k (k>0) のようにおいておくことにします~

      p2_201601220306042f3.jpg


文字を含んだ形ではありますが△ABPの3辺の長さが与えられていて ∠P=60° も分かっている
という状況なので,余弦定理を用いて立式することが出来そうです~ hamster_2.gif


p5_20160122030605eee.jpg


BからAPへ垂線を引くと,余弦定理を使わず三平方の定理のみで処理することも出来ますね~


p8_20160122030606086.jpg








(2)は,△PABの面積が最大になるときのPAの長さを出す問題です~
三角形の面積の基本は (底辺)×(高さ)÷2 です。
底辺と高さの両方が動く場合は考察がやや面倒ですが,一方が固定されている場合は考察が容易くなります。
今回の場合,ABは動かないので,ABを底辺とみて考えるのが妥当なところですね。
このとき,高さが最大になるようにするには,Pを(Cを含む方の)弧ABの中点に取ればよいです hiyos.gif


p11_20160122030644a56.jpg


そうすると,Pは辺ABの垂直二等分線上にあり,円の中心もこの線上にあります。
また△PABは PA=PB であるような二等辺三角形になっています。

ただ,今回は特に頂角が60°なので,ただの二等辺三角形ではなく,正三角形になっています~
もはやPAの長さを求めるのに計算は要らないですね~ isona.gif



p9_201601220306439b5.jpg


二等辺三角形には気付けても正三角形であることに気付けなかったら,三平方の定理や1:2:√3の性質などを使って
計算すると良いです~


p10_2016012203064408f.jpg


「ABを底辺とみる」という方針を離れてみると少し面倒ではありますが,PA=x,PB=yとおいて

より,積 xy の値が最大になるのはいつか求めようという方針からも攻めていくことが出来ます。
x と y の間に成り立つ関係式は,余弦定理から

です。この条件式のもとで xy がいつ最大値をとるか考えてみます~


p12_201601220306454b7.jpg



(3)に進みましょう~
sin∠PBA の値が最大になるときのPAの長さとそのときの △PAB の面積の値を求める設問です~
θ が三角形の内角の大きさであるとき, 0<sinθ≦1 が成り立ちます。
もし sin∠PBA=1 になることがあるならそれが最大値です~
APが直径になるときには ∠PBA=90° になるので確かに sin∠PBA=1 になりますね~ ipon.gif


p6_201601220306452f3.jpg


サインが1になるときという観点でなくとも,PAが最大になればいいという観点から追い詰めていくのもよいと思います~



p7_20160122030646c0c.jpg
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