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2016年センター試験数学1A 第3問

2016.01.24 17:54|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学1A第3問を見ていきます~~ FULL_2013_02_26_213320.gif

第3問,4問,5問は選択問題で2つ選ばなければいけません~
第3問は場合の数・確率分野からの出題になっています~

昨年は場合の数ばかりで確率が出題されないという異例の出題パターンでしたが
今年は条件付き確率・確率の乗法定理をテーマにした問題になっています~

袋の中に赤球4個,青球3個,白球5個の計12個が入っていて,AとBがこの順に1個ずつ球を取り出します~
Aが取り出した球は袋に戻さずにBが球を取り出す非復元抽出なので注意しましょう~

r1_20160124140844ebb.jpg


とりあえず,設問に答えるための準備として以下のように事象を定めておきます~~

r2_20160124140844cba.jpg


はじめの設問はAとBが取り出した球の中に少なくとも1個赤か青が含まれる確率を求めるというものです~
「少なくとも1個~」の類の問題は余事象を考えると割と効率が良いという定石がありますが,
この問題でもそれが当てはまります~
「赤か青が含まれる」の余事象は「赤も青も含まれない」ということなので,
すなわち「AもBも白を取り出す」ということになるので,余事象の確率は計算するのが容易です~

で計算できますね~ panda_1.gif


r3_20160124140845653.jpg
r4_20160124140846e48.jpg


余事象の確率を使わず,直接的に計算するパターンも試してみます~
「赤か青が含まれる」とは,上で定めた事象でいうと, (Ar∪Ab)∪(Br∪Bb) に該当します。
確率の加法定理から,

が成り立ちます~
P(Ar∪Ab) の方は12個中7個の割合なので  となりますが,
P(Br∪Bb) の方は,Aが赤か青を出す場合と出さない場合とに分けて計算します~

r14_2016012417502698f.jpg



よく見ると P(Br∪Bb) と P(Ar∪Ab) は値が一致しています。
また後で触れますが,AとBは球を取り出す順序において対等ではないですが,
各種確率においては実はAとBは対等だったりします~


r15_201601241750279a4.jpg


上の計算を見ると, 
の項を足して引いているとい無駄な計算を含んでいるのが分かります。
この部分を排除して, 
として計算すると少し楽になります~ pakukapa.gif



r7_20160124140918ff3.jpg



次の設問は,「Aが赤,Bが白を取り出す」確率と「Aが赤をとり出すときBが白を取り出す」条件付き確率を
求めるものになっています~
先程までと同様にやっていきましょう~



r8_2016012414091875e.jpg


 を使って  を計算しているので,直後に   をわざわざ問う必要性が
無さそうに見えますが,それを敢えて問うのは確率の乗法定理を用いない解法を想定しているのかもしれません。
これについてもまた後で触れ直すことにします~
まずは乗法定理を用いた流れで最後まで突っ走りましょう~


次は「Bが白を取り出したときにAも白を取り出している」条件付き確率を求める設問です~
その準備として,「Aが青,Bが白」の確率と「Bが白を取り出す」確率を問う設問が入っています~

「Aが青,Bが白」の確率は先程までと同様に求められます。
更に,「Aが白,Bも白」の確率も求められます。
というか,はじめの設問のタイミングで出してます。
この2つと,既に求めてある「Aが赤,Bが白」の確率を加えると「Bが白」の確率が求められます~
これで「Bが白を取り出したときにAも白を取り出している」条件付き確率 
を求める準備が整ったので,それを計算して終了です~ tanuki.gif



r9_20160124140919987.jpg




ひととおり解答し終わりましたが,今度は確率の乗法定理を使わずに一連の設問に答えていきます~
一般に事象Xが起こる確率は (Xが起こる場合の数)/(全体の場合の数) で求められますが,
この原点に立ち返って求めていきます~

12個の球をすべて区別して考えることにすると,
Aの取り出した球を x, Bの取り出した球を y とするとき, x と y の組 (x,y) は
全体で 12×11=132(通り) あります~
AもBも白となるようなものは 5×4=20(通り) なので,
少なくとも1個赤か青が含まれるようなものは 132-20=112(通り) となります~ tankoro.gif


r10_20160124140920a41.jpg
r11_20160124140920b55.jpg


この要領で解き進めていくことができます~
x が赤であるときに y が白である条件付き確率などについては,
x が赤であるもの全体 4×11=44(通り) に占める 「 x が赤, y が白」の割合を考えるなどすればよいです~

r12_20160124140921e32.jpg
r13_20160124140933818.jpg



最後に x と y の対等性について考えてみます~
AとBは同時に球を取り出すのではなくAが先に引くという条件になっているので,
AとBの立場は決して同等ではないですが,確率の観点からするとどうでしょうか。
結局のところ,132通りある (x,y) のうちのいずれかが等確率で起こるという状況ですね。
x と y には優劣の差がないということです~ xmas_tonakai.gif

ここで例えば次のような試行を考えてみることにしましょう~
1番から12番までの番号の付いた12枚のカードから無作為に2枚を取り出して
箱Xと箱Yに1枚ずつ入れるとき,箱XとYに入れたカードの番号を x と y とすれば
(x,y) はやはり132通りあり,しかも x と y は対等の立場にあります。
この場合は x と y の対等性は今回の設問より理解しやすいのではないでしょうか。
よって, (x,y)=(1,2) となる確率と (x,y)=(2,1) となる確率は等しく  ですし,
x が偶数である確率も y が偶数である確率も等しく  であったりします。


元の問題に戻りましょう。今回の問題でも (x,y) において x と y は対等です~ zashiki.gif
だから例えば x が赤であるものと y が赤であるものはともに44通りあるし,
「 x が赤, y が白」であるものと「 x が白, y が赤」であるものはどちらも20通りあります。
このような対等性を意識すると,最後の設問内容の「 y が白であるときに x も白である」条件付き確率というのは
「 x が白であるときに y も白である」条件付き確率と同じ値なので,それは  だということが容易に分かります aicon156.gif
最初に乗法定理を使いながら問題の誘導に沿って解いていきましたが,その手順は実は決して近道ではないわけですね。
A→Bの順に球を取り出したという時系列を意識し過ぎる必要は実はないようです~

確率の単元ではくじ引きの問題もよく出てきます。
10本のくじのうち当たりが1本だけ入っていて,AとBがこの順に1本ずつくじを引く。引いたくじは元に戻さない。
このような状況下では,Aが当たりを引く確率は , Bが当たりを引く確率も  となり
等しくなりますが,これもやはりくじを引く順序は実は関係ないのです~ 06.gif






    
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