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2016年センター試験数学1A 第4問

2016.01.25 22:26|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学1A第4問を見ていきます~ わんちゃんmini

整数問題ですね~新課程になって新規導入されました~
不定方程式の問題とn進法の問題の2本立てになっています~

前半は不定方程式の解の中で特別なものを見つけるというものでした。
シンプルな設問なので「よし,いけるぞ」と思いそうですが,
係数が大きめで,しかも簡単1組の解を見付けられないので動揺してしまった人もいるかもしれません。
しかも後半を見るとn進法,その上更に整数より扱いづらい小数の問題が待っています。
心折れて整数の大問をやめて別の選択問題に急遽逃げる,なんていうパターンに陥ったかもしれません~

92x+197y=1

の整数解 (x,y) のうち |x| が最小となるものを答える設問から始まります~
不定方程式を解く上ではじめにすることは何でもよいから1組の解 (p,q) を見つけるということです。
易しい問題なら x=±1,±2,±3 近辺でとりあえず1組見つかるのですが
今回はその近辺では見つかりません~

このようなときに便利なのはユークリッドの互除法です~ hikari_pink.gif
互除法は最大公約数を見つけるとき以外にも役立つのですが,その一例が不定方程式の解の発見です。
互除法の一連の操作で出てくる割り算の式を利用して 92・(整数)+197・(整数)=1 という形の等式を作ります~


s1_20160124230704278.jpg


整数問題では, (整数)・(整数)=(整数) とか (整数)・(整数)=(整数)・(整数) のような形の
条件式が出てきてくれると非常に助かります m_0048.gif
約数の議論に持っていけるからですね。
この形の不定方程式の問題でも,解が1組見つかると (整数)・(整数)=(整数)・(整数) のような形の条件式へ
移行できます~


s2_2016012423070499e.jpg

x=197k+15 という形で書ける整数は197個ごとに現れるので結構な間隔です。
15の前は15-197,15の次は15+197なので, |x| が最小なのは k=0 のときの x=15 で
最初に見つけた解をそのまま持ってくるだけで結果的に良かったようです~



互除法の利用と大体同じことではあるのですが,係数を小さくする工夫として
92(x+2y)+13y=1 と変形して, z=x+2y とおくと,
少し係数の小さくなった不定方程式 92z+13y=1 に直すことが出来ます~ korobo.gif
これなら z=1, y=-7 と解の発見がやや簡単です。


s5_20160124230706542.jpg


92と13でもまだ係数が大きいと思って更に係数を小さくすることも可能ですが
上述の操作を繰り返しすぎると今度は元の x と y に遡るのが面倒になってきます。
今回の問題では 92z+13y=1 くらいにとどめるのが無難かもしれません。
試しにもう1ステップ進めて 13X+Y=1 型の方程式に変形させてみます~


s6_20160124230707854.jpg



また,合同式を利用する手法もありますね kuma_fly.gif





s3_201601242307058d7.jpg
s4_201601242307063bb.jpg




次の設問に進みます~~
再び別の不定方程式を解かなければいけません~
ただし, はじめに解いた方程式とよく似ています~

92x+197y=10

右辺が10に変わっています。
まずは1組の解を見つけたいのですが,前設問の結果を利用するのが賢いです~ kitune.gif
最初から 92x+197y=10 だったら苦戦する人も多いかもしれませんが
92x+197y=1 を経由することで取り扱いが容易になっています。

92x+197y=1 の両辺を10倍することで, 92・(10x)+197・(10y)=10
が得られます~
これが意味することは, 92x+197y=1 の解の1組 (p,q) が分かっていると
(10p,10q) は 92x+197y=10 の解の1組になっているということです~ kaeru_en1.gif



s7_20160124230745b62.jpg


今度ははじめに見つけた (x,y)=(150,-70) がそのまま答えになるわけではなかったようです。

なお,最初の不定方程式の一般解が (x,y)=(197k+15,-92k-7) (k:整数)なので
2番目の不定方程式の解は10倍して (x,y)=(1970k+150,-920k-70) (k:整数)
となるわけではないので注意です。これだとすべての解は網羅されません~

また最初の不定方程式と同様に合同式などを使って解を見付けても良いです~







さて,後半戦は話がまた変わり,n進法の問題です~
最初は  を4進法表記に直す設問です~
これは基本的な設問なので,しっかり出来るようになっておきたいですね。

10進法を途中経由していくと良いです~
機械的に処理できる筆算のような手法もあります~


s8_201601242307465d2.jpg
s9_201601242307475f4.jpg


最後の設問は配点が大きめです~
落としたくないですねー

6進小数→10進小数の変換をして有限小数になるものを選ぶ設問です~
6進小数表記で 
 
となる数は10進法では 

と表せます~

また,10進小数表記で有限小数になるような実数は既約分数で表したとき
分母の整数が持つことの出来る素因数は2と5のみ
です~
これは割と最近,別の記事でも触れています: http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-263.html

それぞれの6進小数を10進法表記の既約分数に直して,分母の整数の素因数が2と5のみであるものを探していきます~ m_0052.gif



s10_20160124230747ea5.jpg


6進分数表記からの10進法移行という方針でも良いです~



s11_20160124230748fc5.jpg
s11_20160125221924922.jpg






   
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