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2016年センター試験数学1A 第5問

2016.01.27 01:27|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学1A第5問を見ていきます~ げろ


図形の性質の単元ですね~
円周角,角の2等分線,メネラウス,チェバ,方べきなど基本定理のオンパレードといった感じの内容になっています~
また,終盤は正しく状況が捉えられないと解答できないという意地悪さも垣間見えますし,
設問の数も他の選択問題に比べて多めです~~

a1_20160126133452ba3.jpg


状況はこのような感じですね~
円に内接する四角形ABCDがあり, BA=4, BC=2, CD=DA です~
また, AF:FD=2:3 になっています~

はじめの設問は ∠DAC と大きさの等しい角を選ぶものです~
二等辺三角形の底角が等しいことと円周角の定理から分かります~

「このことより」と前置きがあった上で  の値を求める設問が続いています~
「~~より」「~~であることから」などの記述は大きなヒントになるので見落とさないようにしましょう~
∠ABD=∠CBD が成り立つので直線BDは ∠ABC の二等分線になっていることに着目してね,という
ヒントになっています~
△ABC について角の2等分線の性質を適用しましょう~


a2_20160126133453967.jpg


上記のように △ABC について角の2等分線の性質 BA:BC=AE:EC,というのがベタな流れだと思いますが
その他のアプローチから求めることも出来ます~
では先に進む前に幾つか別アプローチを考えてみます~

まずは下図における △AEJ と △CEI の相似に着目してみます~
これは実は上述の角の二等分線の性質の証明の際に使われたりする手法でもあります。


a6_201601261334553b5.jpg


続いて面積比の利用によるものです~
このブログでは対角線分割と呼んでいるいつものアレです:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-59.html
AE:EC=△ABD:△CBD に着目します~

a4_20160126133454e58.jpg


次のように面積を出しても良いです~


a5_20160126133455fcc.jpg




それでは先に進みましょう~

「 △ACD と直線 FE に着目すると」という前置きがあって  を求める設問です~
三角形と直線に着目するというところでピンときて欲しいのはメネラウスの定理です~ eto_ushi.gif

今回は問題文の中で親切に指示してくれていますが,
図がごちゃごちゃしてくるとどこに着目すれば良いかだんだん分かりにくくなってきます。
必要に応じて図の必要な部分だけを抜粋して考えると良いです~


a3_2016012613345439a.jpg





平行線と線分の比の関係を使って求めても良いと思います~


a7_20160126133532f14.jpg





先に進みます~
直線 AB 上にGがあるという追加条件のもとで考えます~
BG の長さと DC の長さを出す設問です~

BG ですが, △ADG に着目すると良いという誘導があります~
よく見るとチェバの定理が適用できる状況になっていますね~ hiyos.gif




a8_20160126133533917.jpg




なお,実はチェバの定理でなくメネラウスの定理でも解決できます~



a10_20160126133534aaf.jpg



この手の図形はベクトルとも相性が良いのでベクトルを用いて攻めるのも悪くないですねー


a13_2016012613361321e.jpg



一方で DC の方ですが,「4点A,B,C,Dが同一円周上にあるので」というヒントが添えられています~
方べきの定理の利用が一番ベタなところだと思います~ m_0025.gif




a9_20160126133533b49.jpg



序盤の方で, ∠ABD=∠CBD=θ とおいた場面がありましたが,
ここで BD, CG, cosθ の3つに関する連立方程式を余弦定理を用いて立ててみる方針も試してみます~



a11_20160127004147bd7.jpg

a12_2016012613353662e.jpg

さりげなく △ACD が実は正三角形になっているという情報が出てきましたね~
特に気付かなくても何の支障もないですが,気付けたのでなんだか得した気分です~



先に進みましょう~
ここが一番厄介な難所だと思います~
四角形 ABCD の外接円の直径が最小になる場合を考えるというみたいですよ~
それがどういう場合なのかということが正しく把握できないと以下の設問には対応できません。

まず直径が最小になるのはいつなのか考えてみます~
長さ4の弦ABが存在する必要があるので,円の直径は少なくとも4以上である必要があります~
もし4未満なら長さ4の弦が引けません。
一方で,円の直径が4であるとき,この円とBを中心とする半径2の円は相異なる2個の交点を持つので
そのうちの1つをCとすれば BC=2 が成り立ちます~
ということは,直径が4であるときというのが求めるべき最小のパターンだったといことが言えます。
このとき, AB が直径になっています~ m_0246.gif

更に,30°の角がたくさん出現し,
結果として四角形 ABCD は AB と CD が平行な等脚台形になっています~
最後の設問は AH の長さを求めるものになっていますが, AB と CD が平行なことによって
△DFG∽△AFH や △CEG∽△AEH などの相似関係を見い出せるので,
それを利用して求めると良いでしょう~



a14_20160126133614400.jpg





またここでもメネラウスの定理を利用するという手もあります~
△ABD と直線 GH に着目してみましょう~



a16_20160126133615a71.jpg





また,直線 BG が AB および DG と垂直であることに気付けると,
以下のような解答も可能になります~



a17_201601261336160cf.jpg


よく考えたら前半で既に I という点は作ってましたね。
二重定義になってしまっていますが気にしないでおいてください~
(…と言って修正をサボる)

最後にベクトルを使って AH を求めてみます~
△DFG∽△AFH や △CEG∽△AEH などの相似関係には敢えて気付かないふりをしてみます。

a15_20160126133615372.jpg














  
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テーマ:大学受験
ジャンル:学校・教育

コメント

とても分かりやすかったです!
助かりました!

No title

コメントありがとうございます~

少しでも参考になったようでしたなら何よりです~
お勉強お疲れ様です~

1の目が出ているサイコロがある。
このサイコロを等確率でいずれかの面の側に倒す。この操作を繰り返してn回目に1か6の目が出る確率Pnを求めよ。
ただし、1と6とは反対側の面にあ るとする。


これの確率で、P0 を使うのかP1 を使うのか混ざってしまってよく分かりません(>_<)

特性方程式で解くというところまではわかりました!
お時間あればよろしくお願いします。(´^` )

No title

コメントありがとうございます~

P0 を使ってもいいし P1 を使ってもいいしどっちでもいいですよ~

「 n≧1 で成立している漸化式」という設定の問題が多いですが,
n≧0 で成立している漸化式 a_{n+1}=r a_n があるときには,
一般項は a_n=(a_1)r^{n-1} として書けますが a_n=(a_0)r^n として書くことも出来ます。
a_1=(a_0)r だからですね。

だから P0 を使っても P1 を使っても同じ答えが得られるはずです~

なるほどー、、、

分かりやすかったですありがとうございました♡♡♪

No title

確率と数列の2単元のコラボである確率漸化式なんて,もしかしたら拷問でしかないかもしれませんね。
漸化式を立てるところまでは出来ていたようなので,一番ややこしい部分はクリアできているみたいです。
あとは漸化式の処理に慣れてくれればOKだと思います~
のびのび頑張りましょう~
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