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2016年センター試験数学2B 第1問その1

2016.01.28 14:18|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2Bの第1問の前半を見ていきます~ ぺんぎんmini

昨年は大荒れした2Bですが,2年連続で大荒れということはなく今年は並盛りです~
1Aの摂氏華氏とか去年の微分係数の定義などギョッとするような出題はなく
指数対数のグラフに着目ってのは面白いかもな~くらいかもしれないです。
数列では群数列が出題されて,苦手な人にはきつかったかもなぁーとか
今年も確率分布に逃げる作戦が有効作用してそうだなぁーとか,印象はそんな感じでしょうか


では大問1の前半,指数対数分野のとこを見ていきます~

はじめはただの計算です~
サービス問題ですね。
対数の底がやや面倒な数値のときは底の変換公式なんかが有効です~ m_0027.gif


b1_20160128132203c63.jpg


次はグラフの位置関係に関する設問が続きます~
指数対数について,数学が苦手な人たちの中にはあまりグラフの理解に力を入れない人も見られるようですが
そういう人たちにはキツイ問題かもしれません。


a>1 のとき,指数関数  のグラフは右上がりの曲線,
0<a<1 のときは右下がりの曲線になっています~
 とおくとき,  が成り立ちますね。
y=f(x) のグラフと y=f(-x) のグラフは互いにy軸に関して対称になっています~ m_0100.gif


b2_20160128132204d5f.jpg




 が成り立つとき,この関係性を対数を用いて表せば  となります。
これは  という式で x と y を入れ替えたものにあたるので,
次の設問は2つの曲線  と  の位置関係を答えるような類のものだと思っても良いですね。
例えば前者が (p,q) という点を通ったとすれば,それは  という関係式が成り立つよ,
ということを意味するので,後者のグラフは点 (q,p) を通ることになります~
つまり,一方のグラフが点 (p,q) を通るならもう一方は点 (q,p) を通る。
この2点は互いに直線 y=x に関して対称なので,2曲線  と  は
直線 y=x に関して対称であるということがいえます~ pakukapa.gif

一般論として,2曲線 y=F(x) と x=F(y) は直線 y=x に関して対称です~
数3の逆関数の知識を持っている理系の生徒には有利だったかもしれません。



b3_201601281322043de.jpg




a を1ではない正の数とします。このとき,  が成り立ちます。
 とおくと,  が成り立つということですね~
y=g(x) のグラフと y=-g(x) のグラフはx軸に関して対称になっています~ aicon338.gif


b4_201601281322055b1.jpg



また,  が成り立ちます~



b5_201601281322057b0.jpg



次は対数を含んだ関数の最小値を出す問題です~
変数の置き換えによって2次関数に帰着できるタイプなので,典型問題ですね~

ここでは  という置き換えが指示されています~
変数の置き換えをする問題で注意しなければいけないのは,新変数の定義域をしっかりチェックしておくということです butterfly04.gif
前半で対数のグラフを考察していたのは伏線だったのかもしれませんが,
t は実数全体を動きます~


b6_20160128132206af7.jpg




ここまできてしまうともはやただの2次関数の問題ですね。
数学1Aの方で2次関数分野の存在感が薄かった分,ここで出てきました~

b7_201601281322155a5.jpg













     
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