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2016年センター試験数学2B 第1問その2

2016.01.29 21:18|大学入試問題
どもども。


今年のセンター2Bの第1問後半を見ていきます~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

三角関数の分野からの出題です~
三角方程式の解の個数がテーマになっています~
方程式の解の個数を問う問題というのは入試では頻出ですが,苦手な人も多そうですね。




2乗やら分数やらが入りこんだ面倒そうな形をしています。
とはいえ,  だったりするので,
角度 2x に関する三角関数を使った式に書き換えていくとすっきりしそうです~ dolphin.gif



c1_201601291456495d0.jpg

c2_20160129145650bdc.jpg


変形後の方程式は元の方程式の両辺に  をかけたものです~
一般に,方程式 f(x)=0 と両辺に g(x) をかけた方程式 f(x)g(x)=0 は
元のものと同値な方程式ではなくなります。
例えば2次方程式 (x-1)(x-2)=0 の解は x=1,2 ですが
両辺に x をかけて x(x-1)(x-2)=0 を考えると x=0,1,2 となり,
元の方程式と解の集合や個数が変わってしまいます。
ただ,  において  は0にならないので
今回は元の方程式と変形後の方程式は全く同じ解を持ちます。
無論,解の個数も同じです。
解の個数問題では,方程式の変形に際し個数が変化しないかについては慎重に吟味が必要です~


かくて,  が成り立つか  が成り立つかの
どちらかであれば良いということが分かったのですが,
前者の解は k の値に依存して変化します。
一方で後者の方は k の値に依存しません。
次の空欄を埋めるには  を満たす x を考えればよいわけです~
前の空欄の値を誤ったりしても答えられるので親切設計ですね。

c3_2016012914565178b.jpg



今度は  の方について考えていかないといけません。
0<2x<π なので,常に sin 2x>0 です。よって,  と直すことも出来ます。
三角方程式  (0<θ<π) を解くにあたり,単位円を使って考えていくと,
単位円と直線  との共有点の個数だけ解があることが分かります。

 なら共有点0個,  なら共有点1個,
 なら共有点2個になっています~ kaeru_yodare1.gif


c4_201601291456522dc.jpg
c5_20160129145653239.jpg


上の考察からも分かりますが,共有点の個数+1が元の方程式の解の個数と等しいという安易な発想は良くないです。
共有点のうち一方から出てくる x の値がもし  だった場合,
共有点の個数が元の方程式の解の個数と一致してしまいます。

  の場合はそういう現象が起きてしまいます
ここの空欄を1個ではなく2個にしてしまった人は多いかもしれません~


c6_201601291456532d2.jpg


さて,今の問題ですが,単位円を使わずグラフで攻めるというアプローチ法もありますね。
 の解の個数は曲線  と直線  の共有点の個数を調べれば良いので,
   の範囲での共有点の個数を数えてみます~


c7_20160129145746f91.jpg




y=cos4x のグラフと直線 y=1-8 k の共有点を比べても良いですね~


c8_20160129145747831.jpg



この辺りまでがピークで,後半は解きやすいです。
 のときに cosx の値を求めるというものです~

sin2x の値がすぐ出てくるので,あとは三角関数の相互関係や2倍角の公式あたりでサクっと処理できます~ kasabake.gif



c9_20160129145747aee.jpg


c10_201601291457489f1.jpg


c11_20160129145749a1b.jpg




最後に,参考までに図形の性質を使って最後の空欄を埋めてみます~
下図において ∠BED=x であることに着目します~~


c12_201601291457504c8.jpg




  
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