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2016年センター試験数学2B 第2問

2016.02.06 04:40|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター2Bの大問2です~ げろ

例年通りの微分積分の大問になります~
計算量がそこそこあるので手際よく解いていきたいところではありますが
正方形が動いていくなどややこしい状況設定になっています~
何かしらの図形が動くというパターンが今年は多いですね。

2つの放物線 
,  
および2直線 x=a, x=a+1 で囲まれる図形 D とその面積 S について考えます~


d1_20160201221719135.jpg



S は a の2次関数になっていて,その最小値を出す設問があります~
簡単な積分計算で処理できますね。
指数対数のところに続いて2次関数を取り扱う場面が出てきます。
1Aで存在感薄かった分,ここらで挽回ということでしょうか~


d2_20160201221720d88.jpg



この答えの  ですが,  がともにy軸に関して対称であることを踏まえると
下図のように図形Dがy軸に関して対称になるときにSが最小になるのだろうと見当がつけられます。
この場合以外だと同じ面積値をとる a の値が2個ずつありますよね。
2個もあったら設問の空欄が埋められません。



d4_20160201221721a60.jpg


  であることを計算を省きつつ実証するとしたら,  の値が に変化したときの
Sの増加量と減少量を考えると良いと思います。
例えば下図のように   の値が に変化したとすると,Sの減少量より増加量が勝っているため
トータルではSは増加しています。

d3_201602012217215ae.jpg


  とすると,  のときは増加分が勝りSは増加,対称性から  のときにも Sは増加,
結果として  のときがSは最小ということになります。



ところで,空欄アイのあたりの式からも分かるように,Sは定積分で表された a の関数としてはじめ表示されています。
ということは,定数 k に対し,

という関係式が成り立つので,これを利用するという手もあります
下の計算では上端と下端に a が含まれているものを一方のみに含むように変形して上記の公式を用いています。

の関係式も使っています。


d5_2016020122172206a.jpg





先に進みましょう~

ここからは4点 (a,0),  (a+1,0),  (a+1,1),  (a,1) を頂点に持つ1辺1の正方形Rが登場してきます~
a≧0 の範囲を動くときの図形Dと正方形Rの共通部分の面積Tについて考えていこうという流れです。
ここで一応触れておくのは, D と R は周上の点も含んでいるものと考えているということです。
本来ならそういうことも問題文で明確に述べておくのが好ましいと思います。
共通部分が1点になってしまうことがあるので,周上の点を含むか含まないかというのは大事なポイントです。


はじめに   が直線 y=1 と交わる点の座標を出さないといけません。
方程式を解く計算で求めても良いですが,一番最初に挙げた図から直ちに分かります。
 D と R の共通部分が空集合にならない a の範囲を求めます。

0≦a≦1 のときは下図のようになっていて,常に共通範囲が存在します。

d6_201602012217239af.jpg

1<a≦2 のときは下図のような状況です。
やはり共通部分が存在します。 a=2 のときは共通部分が点 (2,1) のみになってしまいます~


d7_20160201221805aca.jpg



a>2 のときには共通部分はなくなってしまいますね。

d8_201602012218065ae.jpg



d9_2016020122180716b.jpg



1≦a≦2 のときについて考えます~
T が a について単調増加か単調減少かということですが,
計算などしなくても正方形 R をどんどん右へスライドしてみれば減少していくことが分かると思います~

律儀に計算でも確かめてみましょう~
T は a の関数になっているので  であることを見てみます~


d11_201602012218080c8.jpg


このことから, 1≦a≦2 のときには常に T(a)≦T(1) が成り立つことになるので
0≦a≦2 における T(a) の最大値は 0≦a≦1 の範囲でとることが分かります~
0≦a≦1 における T(a) の計算をしていきましょう~
色々な求め方がありますが,その中の一例のようなものが誘導として与えられています~
図形Dの面積Sから正方形Rの外側にある部分の面積Uを引けばいいじゃないかという発想ですね。
Uを計算するのが次の設問です~

 の積分から長方形を引くというのが無難なところでしょう~

d12_201602012218097c5.jpg
d13_20160201221842ac9.jpg

また,3点  を頂点とする三角形から余分なところを
削ってやろうという方針でもいけます。
余分なところは放物線と直線で囲まれた図形をしているので,いわゆる  公式を使って計算ができます~



d14_201602012218432b4.jpg



Uが求まっていればTはすぐ出てきますね~

d15_2016020122184333b.jpg



別の方針で T を求める流れを幾つかみてみます~

まず,さっきのUのときと同じように  公式を使った方針を試してみます~

d17_20160201221845411.jpg


ちょっと面倒くさいですね。
しかもよく考えてみたらDという文字は図形Dのとこで既に使ってましたね

ほかの図形の足し引きでTを求める計算を数種類挙げてみます~

d16_201602012218440fe.jpg



d21_20160201221921659.jpg




d18_2016020122184608c.jpg






最後に T の最大値を与える a の値を求めます~
T の値が a の関数として与えられているので,微分して増減を調べればよいです~


d19_2016020122191972c.jpg




ここでも定積分で表された関数の微分に着目した解答も挙げてみます~


d22_20160201221921809.jpg
d23_20160201221922f15.jpg
d24_20160201221922a57.jpg





なお,最大値そのものは問われていませんが,もし計算するようであれば
愚直に代入計算するのではなく,  であることに着目して
多項式の除法を利用すると楽ですよ~



d20_2016020122192033a.jpg











   
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