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2016年センター試験数学2B 第3問

2016.02.06 16:10|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター2Bの大問3を見ていきます~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189

数列の単元からの出題で群数列がテーマになっています~
過去にも何度か群数列は出てきてます~(2010年とか)

苦手な人はほんとに苦手なんですよね,群数列。
問題見た瞬間に青ざめた人もいたかもしれません~
コツさえ掴んでしまえば割とパターン解法で処理できちゃったりもするんですけどね。


今回の数列は真分数を順番に並べていくというタイプのものです。
はじめにすべきことは次の3点をおさえておくことです~ dog_happy.gif

 k群に含まれる項数
 k群の最初の項
 k群の終わりまでに含まれる項数


群数列の問題では毎回この3つをヒントにして解き進めていくので,
設問に取り掛かる前に準備しておくと良いでしょう~


k群に含まれる項数は k ですね。
k群の最初の項は  です。  じゃないトコロがやらしいです。
k群の終わりまでに含まれる項数は (1群の項数)+(2群の項数)+(3群の項数)+…+(k群の項数)
で求められることもおさえておきましょう~ kaeru_en1.gif
なお,k群の終わりまでに含まれる項数は,k群の末項が全体の数列の第何項かを表していることも見落とさないでください~


e1_20160206134651a80.jpg



では具体的に設問に挑んでいきましょう~
 は何か?初めて分母に8が現れるのは第何項か?という問いですね~

これくらいなら何か計算するよりも具体的に項を書き並べて答えてもいいんじゃないかという気もします~
k群の終わりまでに含まれる項数が  であることを利用してもよいです~
ちなみに初めて分母に8が現れるのは7群の1番目です~

e2_20160206134651896.jpg


続いては, k≧2 に対して,初めて  が現れるのが第  項とし,
初めて  が現れるのが第  項として,  と  を求めるという問いです~

分母が k であるような分数が並ぶのは (k-1) 群なので,
端的に言うと, (k-1) 群の初項と末項が全体の数列の何番目ですか?と聞いていると思えばよいです~ m_0054.gif

 については上の方で7群の1番目が  だと求めたときと同じようにやればいいです~
 は  より (k-2) 個先に進んだとこだと考えてもいいし,
 として考えても良いです~
そもそも (k-1) 群までに含まれている項数が  だという見方も出来るので,
冒頭で求めた「k群までに含まれている項数」の式に当てはめるのが一番手っ取り早い気がします


e3_201602061346526c4.jpg
e4_20160206134653231.jpg


この  と  については漸化式を立てて解くという方針も使えそうです~
 は (k-1) 群の1番目,  はk群の1番目なので,
 はちょうど (k-1) 群に含まれている項数 k-1 に等しいことが分かります~
 (k≧2) という漸化式を解けばよいのですね。
階差数列の公式を使えばすぐに一般項が求められます~
数列  は n=1 では定義されていないので何の断りもなく  とか出してこないようにしましょう~

e5_2016020613465388b.jpg



次は  を求めます~
 が何群に含まれるのかをまず調べましょう~
 なので,  と分かります~
つまり14群の末項が  なので,  はその1個手前を考えればいいですね rabi_left.gif

では一体  が104に近いことをどうやって見付ければよいのでしょうか。そこが肝心です。
 の値が104に近そうな k の見当をつけるのですが,  と104が大体近いということは
 と 2×104=208 が大体近いということだとみなして, k≒14 くらいかな?
とすれば良いのです~

もう少し丁寧にすると,
 がk群に含まれているための条件は  なので,これを満たす k を見付けるために
 という不等式が出てくるので
 から k=14 が分かります~



e6_20160206134654c41.jpg



次は全体の数列の第  項から第  項までの和を求めます。
これはすなわち (k-1) 群に含まれる項の総和を求めろということですね~
ということは,分母が k である項の並んでる部分の和ということです~

そして全体の数列の初項から第  項までの和を求める問いが続いています。
初項から (k-1) 群の末項までの和なので,
(1群に含まれる項の和)+(2群に含まれる項の和)+…+((k-1)群に含まれる項の和)
で計算ができます~ s2_sum_suika.gif



e7_20160206134714b5d.jpg


最後に  を求める設問です~

第103項は14群の末項の2つ前ですね。
上で求めた結果を利用して,14群までに入ってる項の総和を求め,そこから  を引けばよいです~ kaeru0-02.gif


e8_20160206134714cec.jpg



ひととおり解き終わりましたが,こうして設問を振り返ってみると,一般項の類を出す設問以外では
高々14群までしか出てこないんですよね。
14群までくらいであれば全部項を書き出していくというスタイルでもかなり設問に対応できます。
試しにやってみましょう~

e9_20160206134715d58.jpg

これだけでもう20点中12点です~ kaeru08.gif
群数列を苦手とする人の中にはこうした力技でしのいだ人が思ってる以上にいる気がします。
更に姑息な手段で残りの空欄を埋めていくと,
 の形で書けることが空欄の形から分かるので
上の列挙した結果から  であるから

を解いて, 
となることが分かりますね。他の空欄もこんな感じでいけます。
未知数3個のところはここだけで残りは全部2個でいけるのでそれほど苦でもありません。
記述式の試験ではこれだとNGですが(答え出した後で帰納法で実証すればセーフだろうけど,
それができる人なら普通に解いていける気がします),マークならこんな抜け道もあるでしょうね。
また上のハヒフヘホ部分の計算過程を見ていると,ツテトナ部分は  となっていることが
容易に類推できます~(もちろん帰納法で確かめることが本来必要です)

群数列のパターン解法が分かってなくても,このようなズル技を使って20点満点で切り抜けることも可能になっている
そういう大問3でした。






   
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