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2016年センター試験数学2B 第4問

2016.02.07 19:00|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2B第4問です~~ 箱ドットおにおん2mini

ベクトルの単元からの出題です~
今年は空間ベクトルでしたね。よくあるタイプの四面体の問題で,これといって斬新な設問もなかったので
標準的なセンター対策ができていた人はなんとか切り抜けられたんじゃないかという感じの内容でした~
ただ,序盤のウエオカキの辺りがちょっとだけ計算が面倒で,この大問の面倒ピークになっています。
序盤にピークを持ってきてしまうと,そこの設問の時点で心折れてしまった場合に大きな打撃になってしまう懸念があります~


とりあえず具体的に見ていきましょう~
四面体 OABC が与えられていて,OA,OB,OC の長さおよび ∠AOB=∠BOC=∠COA=60°
が分かっています~

まずは内積の値を求める設問です~これは確実に正解しておきましょう~


f1_20160207014747b66.jpg



 を求める設問が続いています~
先程も述べた通り,計算の面倒臭さはここがピークです~


として計算していきます~
頑張って展開していきましょう~

展開した後の式は s と t の2次式になっています~
これを平方完成して空欄どおりに  の形の式変形をすると
X=Y=0 のときに最小値をとることが分かります~

f2_201602070147485e8.jpg



先に進む前に,   の計算について,ベクトルの内積計算をせずに求めていく方法を検討してみます~ eto_hitsuji.gif

まずは最小値  を求めてみます。

そのための準備として,一般論に少し触れておきます~
空間上の交わらず平行でない(いわゆるねじれの位置)2直線  があり,
 上の動点Pと  上の動点Qがあるとき,PQの長さが最小になるのはどんなときか?
という点についてです~
 
  の方向ベクトルを考え,その両方に垂直なベクトル  を法線ベクトルに持ち,
 を含む平面  と,  を法線ベクトルに持ち  を含む平面  を考えると,
この平行な2平面の間の距離がPQの最小値に等しいです~ kaeru_en1.gif


f9_201602071739422dc.jpg





この2平面をちょうど真上から見てみましょう~
 が交わって見えます~
この交点に対応する  上の点をそれぞれ  とします~





f10_20160207174739501.jpg


このとき,  かつ  であって,  の長さが2平面の間の距離と等しくなっています。
P が  以外の位置にあったとしましょう~
Pから平面  へ垂線PHを下すと,  が成り立ちます~
Qの位置によらずに PH<PQ が成り立つことが直角三角形PHQの辺の長さの関係から分かるので
 となり,PQの長さを最小にするにはPは  の位置に取らねばならないことが分かります~
Pをその位置にとったとすると,QはPからmに下した垂線の足の位置にあるときにPQの長さは最小になるので,
以上からPQの長さの最小値は  の長さに等しいことが言えました~ m_0033.gif


元の問題に戻ります~
PQが最小になるのは PQ⊥OA かつ PQ⊥BC となるときです~
ここで注目したいのは,もし Q をBCの中点の位置にとると,四面体OABCは平面OAQに関して対称になっている
ということです~ m_0251.gif
BとCは互いに平面OAQに関して対称な点なので直線BCはこの平面に垂直です。
ゆえにこの平面上の任意の直線とBCは垂直です。
したがって,Pの位置によらず PQ⊥BC となります~
あとはQから辺OAに下した垂線の足をPとすれば, PQ⊥OA かつ PQ⊥BC が成り立つように設定できます~
△OAQ に余弦定理を用いることで cos∠POQ を求め, OP=OQcos∠POQ として求めてみます~


f3_20160207014748bcc.jpg


AB や AQ の長さや cos∠POQ を求めなければならないなど,途中過程がちょっと面倒でしたが,
ある点に着目すればこの部分はショートカットできます。

辺OA上に OD=2 となるように点Dをとってみましょう~
そうすると四面体ODBCは1辺2の正四面体になっていることが分かります~ rabi_shy.gif
ということは△ODQは  の二等辺三角形になっているので,
PQ⊥OD となるにはPはODの中点であれば良いので, OP=1 がすぐに得られます~
あとは三平方の定理でPQを求めて終わりです~


f5_201602070147503fc.jpg


さて,最小値だけ分かっても  のところの空欄は埋められません。
P,Q が一般の位置にある場合は三平方の定理を使って処理します~
最小値をとるときのQ,Pの位置の点をそれぞれM,Nとすると,
 が成り立ちますよ~ rokuro.gif



f4_20160207014749f03.jpg


内積計算よりゆるい計算量で空欄を埋めることが出来ました~ robo.gif


それでは先へ進んでいきましょう~
ここからはPとQは最小値をとるときの位置で固定されます~

△ABCの重心をGとして△GPQの面積を出したいということのようです。
 の値と ∠APQ の大きさを答える設問からスタートです~
前半の空欄が埋められなくても点数を稼げる救済ポイントですね。
先程から述べているように PQ⊥OA になっています~
そのことに気付いていなくても内積計算をしてみればすぐに確かめられます。

よって次の空欄の△APQの面積は 底辺×高さ÷2 ですぐ解決です。
また,重心の位置ベクトルの公式から   が成り立ちますが,
今回ははじめから△OAQに着目して  とするほうが楽です~

あとは簡単な面積比の計算で終了です~
面積比の問題はなにげに出題率が高いので用心ですねー risu.gif



f6_20160207014750bea.jpg


面積比を使わずに 底辺×高さ÷2 などの公式から求めても良いです。
PGとOQが平行であることを利用して,PQを底辺とみて面積を求めてみます~ ramen.gif



f7_2016020701481024b.jpg
f8_20160207014811f84.jpg




 
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