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2016年センター試験数学2B 第5問

2016.02.08 01:32|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター数学2B第5問です~ ぺんぎんmini

さくっとやっつけてしまいます~



確率と統計の単元ですね~
数列・ベクトル・統計から2つ選ぶシステムですが,数列やベクトルが苦手な人にとっては
なかなか魅力的な逃げ道だと思います~ body_run.gif
完答するのはちょっと大変ですが,大問の5割前後取れれば上々というくらいの人ならば
十分に検討の余地があります。

確率は数学1Aでも学ぶので,その知識が有るだけでもはじめの空欄は埋められます。
今回の大問では数直線上の動点がテーマで,反復試行の確率が分かっていれば
空欄ケのあたりまではいけます。
そこから先は確率変数に関する基礎知識と二項分布についての知識があれば空欄チツまでいけます。
ここまででちょうど12点相当になっています~

ではもうちょい具体的に見ていきます~


はじめ原点にある動点Aが n 回の移動を行います。
確率 p で正方向に3,確率 1-p で負方向に1だけ移動するそうです~

n 回のうち,Y回が正方向の移動, (n-Y) 回が負方向に移動であり,
n 回の移動後の点Aの座標がXということになっています。

XとYの関係は(+3)の移動がY回,(-1)の移動が (n-Y) 回として考えると良いですね。
はじめは n=2 の場合を考える設問になっています。
n=2 に特化して考えてもいいし先に一般の n の場合を想定して空欄クケから埋めてしまっても良いと思います。

一般の n の場合でいうと, Y=k である確率は

で与えられます~ car2_tank.gif



g1_201602072348331e8.jpg


確率変数 Y は二項分布 B(n,p) に従います~
その期待値,分散は公式そのまんまで空欄が埋められます。
一方で X については,  が成り立ちます~
一般に,2つの確率変数 X と Y の間に X=aY+b という関係があれば

が成り立ちます。


g2_20160207234834f56.jpg


ここからは後半戦です~
n=1200 の場合を考えていきます。  ならば X≧120 となる確率はどれくらいになるかという設問です~
上で答えた値に n と p の値を代入することによって具体的に E(Y), V(Y), σ(Y) の値が分かります。
代入してみるだけで空欄セソタチツが埋められるので親切設計です~

n=1200 は十分大きい値なので正規分布で近似できることを利用します~
また,確率変数 U が正規分布 N(m,v) に従うとき,確率変数  は標準正規分布 N(0,1) に従います~ eto_mi.gif



g3_20160208005248eae.jpg


ここから先は母比率の推定の問題です~
p の値が分からないそうです~
代わりに n=2400 で X=1440 だったという状況が分かっています。
p は大体いくらか95%の信頼度で求めなくてはいけません。
X=1440 ということは Y=960 であることが分かります。
2400回中960回正方向の移動があったのだから,正方向移動の確率はおよそ  
くらいだろうと見当はつけられますが,もう少し幅を持たせたいと思います。
この0.4という数値は標本比率ですね。

確率変数  は近似的に平均 p, 分散  の正規分布に従いますが,
分散は  に近い値なのでこれで置き換えていきます nezumi02.gif



g4_201602072348355ac.jpg
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ジャンル:学校・教育

コメント

確率分布と統計的な推測

私は確率は苦手なのですが、確率分布と統計的な推測は、確率の問題としては簡単で、ベクトルや数列よりも短時間で解け、確率が苦手でも点数が取りやすいときいたことがあるのですが、そうなのですか?
センター試験の選択問題としてはベクトルや数列よりも実際楽な問題なのですか?

No title

コメントありがとうございます~

確率分布と統計的な推測はその単元名にあるように「確率分布」と「統計的な推測」の
2部構成になっています。
後者の方は難しい内容も含んではいるのですが前者の方はそれほど大変でもありません。
現行過程のセンター試験はまだ2年分しか実施されていませんが,その2年分の本試について言えば
この前者の方をしっかり学んでおくだけで大問の半分くらい点数が取れてしまうような内容でした。
この傾向がずっと続く保証はないですが,続くとしたら点数は取りやすいかもしれません。
数Aの確率しか知らない人でも1つか2つくらい空欄が埋められたりする場合もあります。

数学の試験がセンターのみの受験生で,この大問は完答は出来なくてもそこそこ点が取れていれば
上々だという状況で,かつベクトルと数列の2つを完璧に仕上げるのが非常に困難を要するというような
場合には検討の価値があります。
「確率分布」の方に出てくる期待値は数年前までは数学Aの内容で,センターでも定番のものでしたし
他に分散や標準偏差などが出てきますが,これはデータの分析のところでも出てくるので何となく
馴染みのあるものです。これらの対象の計算規則とかを学ぶ必要がありますが,それを知ってると
データの分析の分野の問題にも活きる場合があります。
今年の1月のセンターではその辺りの知識があると有利な問題も出題されていました。
「統計的な推測」の方は前半よりやや難度が高いですがベクトル・数列よりは問題のバリエーションは狭く
比較的素直な問題が出題されそうな雰囲気はあります。

センターのみでなく2次試験もあるという場合にはベクトルも数列もある程度仕上げておかないと
きついような気はします。ベクトル・数列も完成させておいた上で,本番の試験でベクトルか数列の一方が
極端に相性が悪い問題だったときに確率・統計に逃げてその大問が0点という状況を回避するという作戦は
有効だと思います~

総じて言えば,センターの確率・統計分野の個人的な印象は
「完答するのは大変だけど序盤部分に限って言えば数列・ベクトルよりも楽に解けてしまうことはしばしばある」
ですね。

No title

返信ありがとうございます。

私自身理系なので、今までベクトルと数列を選択していたのですが、時間がなく解き切れず、あまりいい点が取れません。

確率が苦手なので、全く確率分布を選択する気がなかったのですが、短時間で解けてそこそこ取れると聞いたので、確率分布も選択科目の一つだと考え、最近勉強を始めました、

ベクトル数列確率分布の中で短時間で簡単に点数を取りやすい(15点以上20点中)科目は確率分布なのですか?

No title

理系の生徒だと数3が必要・不必要かは関係なくある程度の水準でベクトル・数列には
強くなっておきたいですね。既にある程度下地が出来ているはずなのでベクトル・数列選択コースで力を
伸ばす方が効率の良さでは良い気はしますが,確率・統計分野も内容の全体像を理解するのには
ベクトル・数列ほどの時間はかかりません。それに前回述べたように問題のバリエーションは狭く
比較的素直な問題が出題されそうな感じがあります。

「ベクトル数列確率分布の中で短時間で簡単に点数を取りやすいものはどれか」については一概には言えないです。
個人個人の各単元の完成度や,目標得点,その年の出題内容,それに対する相性で大きく左右されるからですね。
受験生側の気持ちからすれば,「確率分布が楽だよ!オススメだよ!」と太鼓判を押して貰えると
ありがたかったのかもしれませんが~

比較的素直な問題が出やすいため,基礎が出来上がっていれば確率分野は出題内容によらずある程度の
点数は期待できるかもしれませんが,「統計的な推測」側の出題が中心となる内容になるとちょっと難度は
上がるでしょうし15点以上取るのは慣れてないと大変かも?な予感です。
すごく慣れていれば最後までスムーズに解いていけそうですがそれはベクトル・数列も同じです。
「短時間で取れる」のは確率分布側の内容が多い出題内容のときかなという気はします。
文系ではなく理系の方のようなので比較的速く内容を吸収できるとは思いますが,過度に頼ることはせず
切り札としての役割を果たしてもらうくらいがちょうどよいのではないでしょうか。
過去問(本試・追試)やマーク模試の問題などのサンプルを解いてみて自分との相性はどうかを実際に
調べてみると良いでしょう。

No title

返信ありがとうございます。

確率が苦手なので、全く確率分布を選択する気がなかったのですが、短時間で解けてそこそこ取れると聞いたので、確率分布も選択科目の一つだと考え、最近勉強を始めました、
→ここの「短時間」というのは学習時間ではなく、試験時間60分でのの短時間(時間配分としては10分くらいで)という意味です。

試験時間として10分くらいで20点満点中15点くらい取るには確率分布がベクトルや数列よりも簡単そうだという印象を持ったのですが、そうでもないのですね。

確率分布の選択する場合は数列、ベクトルが難しいと思った時の保険として勉強しておく程度に考えておいたほうが良さそうですね

No title

「短時間」はちゃんとその意味で捉えてます,大丈夫です~
「短時間で解けてそこそこ取れる」という話は無条件でそうだと言っているのではなく
内容理解や問題演習について十分な完成度があることが大前提になっていることに注意してください。
個人的な感覚としては,「短時間で解けてそこそこ取れる」という主張をする人たちの多くは
ある程度数学が得意で,ベクトルや数列の問題であってもスムーズに解いてしまえる要領の良い人たちではないかと
思うのです。ベクトル・数列・確率統計どれを選択しても十分に戦えるだけの土台がある人の場合には
素直な問題が出やすい確率統計の分野はスピーディに得点しやすいように感じるのだろうと思います。

確率が苦手とのことですが,どれくらい苦手なのかにもよりますが
10分くらいで20点満点中15点くらい取るには事前に入念に準備しておくことが必須です。
ここの単元は学校の授業でもベクトル・数列ほどみっちり時間はかけないことも多いですし
手元にある演習用問題数も多分それほど多くないはずで,十分な完成度で試験に臨みにくいのが難点です。

ただ,目標点数が15点ではなく10点前後でいいのならハードルはそれほど高くはありません。
過去2年のように「確率分布」側からの出題が多ければ「短時間で10点」は完成度が微妙ラインでも
割と実現できます。ベクトル・数列両方を極めるのはしんどい人に確率統計の分野の検討も勧める理由は
ここにあるわけですが,15点以上を手堅く取りたいという目標になるとそれなりの完成度が要求されます。
選択問題ですからベクトル・数列と比べて極端に簡単ということはないですからね。

とりあえずは前コメントにあるように実際の問題に触れてみてそれでどういう印象を持つか調べてみましょう。


No title

わかりました。ありがとうございます。
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