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2016年前期東大入試理系数学 第1問

2016.03.09 03:40|大学入試問題
どもども。
今回は今年の前期東大入試の理系数学第1問をやっていきます~


問題はこちら~~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

i16_20160309020434fb7.jpg


今年も前期試験が終わりちょうど合格発表シーズンですね~
今回の東大前期はものすごく話題性のある問題とかは特に無いですが,
簡単だったわけでもなく平常通りという印象です~

第1問は数3の微積,不等式の証明です~~

 と e の間の関係がテーマになっています~~

 であることはおなじみですが,
極限に飛ばす前の段階では  は e より小さいことを確かめます。
また, 
も成り立ちますが,極限に飛ばす前の段階では  は e より大きいことも確かめます。


実は x>0 のとき  が単調増加で,  が単調減少です~
このことを検証することによって目標の不等式を示してみたいと思います~ dog_angry.gif


まずは単調増加の方からいきましょう~
x>0 上の関数  の増減を微分を用いて調べます~
導関数の計算は対数微分を用いてもいいですが,指数関数の形にしてしまえば合成関数の微分でも処理できます。

i1_20160309020330131.jpg

常に正の符号を取ることが分かっている部分は放置しておいて,
  の部分だけ抜き出して考察を続けます~ kaeru_en2.gif



i2_20160309020330403.jpg
i3_20160309020331d98.jpg


これで半分終了です~

なお,導関数の計算で対数微分を用いた場合は以下のようになります~

i4_20160309020331c83.jpg



また, F(x)>0 を述べる部分では,定積分を用いた面積の比較を利用することも出来ます~ onigiri_1.gif



i5_20160309024646110.jpg



後半の単調減少側も前半と同様のステップで証明できます~



i6_20160309020332a24.jpg

i7_201603090204129b1.jpg



これで無事終了です~

ところで, G(x)<0 を定積分と面積の関係で確かめるにはどうしたら良いでしょうか。

と変形できるので,定積分が表す図形の面積と,
4点  を頂点に持つ台形の面積を比較すればよいです~




さて,ここで目標の不等式を別方針で証明してみることを検討してみましょう~

目標の不等式は  というやや複雑な関数を相手にしなければならない面倒臭さがあります。
対数をとって式変形を施すことによって,示すべき不等式は



と同値であることが分かります~ buta02.gif


定積分と面積の関係を探ってこの不等式を証明していくという方針でもいいと思います~


i11_20160309025700a1a.jpg
i8_20160309020412904.jpg
i9_201603090204133f0.jpg



変形後の不等式について微分を用いて~というのももちろんありです。
ここでは,さらにもう一工夫を加えてみたいと思います。  の変換を用います~


i12_20160309020414319.jpg



最後に少しだけ余談を加えておきます~
今回は連続変数 x に関する不等式でしたが,もしも自然数 n に関する不等式
 を示す問題だったならば,二項定理を利用した証明も可能になります。



も利用したいので,この不等式を先に証明してしまいます。
 (x>0)
を示して x=1とすればよいですね。

i13_20160309020433a13.jpg
i14_20160309020433e59.jpg


e を下から評価する際には便利ですが上からの評価には不向きです。
 の証明は二項定理の応用だけではきつそうです。


なお,今導いた不等式と冒頭の解法で挙げた f(x) の単調増加性をミックスすると



という不等式が得られます。 [x] はガウス記号です。

i15_20160309020434662.jpg




        
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