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2016年前期東大入試理系数学 第3問

2016.03.21 14:39|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大理系数学の第3問をみてみます~


問題はこちら~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90



2016t3.jpg


空間図形の問題です~
空間ベクトルの問題として捉えてもいいし純粋に空間幾何の問題として捉えてもいです~
後半は面積の最小値を求めなければいけません。
数3の微積の問題と捉えるのがスタンダードな流れでしょうが,相加相乗平均の関係式を用いることも可能です~

k1_2016032113333730c.jpg

 の面積 S(a) を求めなければいけないので,
まずは3頂点の座標を求めていきたいと思います。
 から考えていきましょう~

ベクトルを使っていくとすれば,  を線分  の延長上にある点として捉えて

の形で表示できることに着目します。
成分表示したときに x 成分以外が0になることから定数  の値を計算できます~ cat_4.gif


k2_20160321133337049.jpg



残り2頂点についても同様に求めていきます~



k3_2016032113333807a.jpg



これらの座標をより初等幾何を活かして求めるとしたら,平行線と線分の比の関係を有効利用するのが良いでしょう~ car2_truck.gif


k4_20160321133338271.jpg
k5_20160321133339853.jpg

3点の座標は他にも内分・外分点の公式を利用するという手もあります。
さて,3点の座標が分かったことで S(a) の計算が出来ます。
しかも  は直角三角形になっているため,その計算は容易です~




k6_20160321133339531.jpg
k7_20160321133417e91.jpg




S(a) は a についての有理関数になっています~
最小値を求めるとしたら,真っ先に思いつく方針は微分を用いるものですね kaeru_ang3.gif
分母が3次,分子が2次なのでやや計算は面倒です。計算ミスに気をつけたいです。


k8_20160321133417756.jpg


やや複雑な有理関数の導関数の計算には,対数微分を用いる作戦もあります~


k9_2016032113341896b.jpg



S(a) は常に正値であり,また整理すると分子が  という単項式になってしまうため,
敢えて  の最大値を考える問題にすり替えてしまうというのも有効手段です~ m_0032.gif




k11_201603211334190c3.jpg
k12_201603211334199ac.jpg




微分を用いずに求めるなら相加相乗平均の関係式を使うのが簡明です。



と変形ができますが,ここで  のそれぞれに別々に
相加相乗平均の関係式を適用します~

注意すべきはこの2つに関して,等号成立条件が運好くどちらも a=2 であることです。
一般にはそんな都合良くならないことが多いですが,今回は都合良い状況になっているので
これで最小値が求められます~ pakukapa.gif



k10_20160321133418c84.jpg







   
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