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平成24年度宮城県公立高校入試数学 第五問(A) その2

2012.09.25 19:13|高校入試問題
どもども。

今回はこの春の宮城県公立高校入試の数学のA問題選択5番の続きをやっていきます~~yotuba13.gif

1と2を前回やったので今回は3の図形の問題をやります~

問題はこちら~もなたん算数mini

mon5a3.jpg

n1.jpg


mon5a4.jpg



正三角形と平行四辺形を合体させた図形です~
色んな図形の性質が使えそうですが,
そのおかげで,かえって混乱しちゃうかもしれませんねtaxi01.gif
入試問題のトリに出てくる図形問題は大抵このように複雑です。
相似な三角形の組なんかが多いと,
いったいどの相似関係に着目すればいいのかなど
迷ってしまいますよね。

特に平行線があると相似な三角形はたくさん出来ます。
この問題だと分かりやすいトコだけでも
△ABF∽△ADE,△FCG∽△EDG,△ADG∽△ECG,△ABF∽△ECF
なんかが挙げられます~tawa02.gif

とにかく,そもそも様々な図形の関係性に気付けないと,
「どれを使えば解けるのか」を悩むステージに進めませんので
等しい辺や角,平行な線分などに印をつけたりするなどして状況把握に努めましょうtakenoko03.gif





まずは(1)です!
BF:DEを求める設問ですね~

△ABF∽△ADEを利用する

一番オーソドックスな解法がこれだと思います。
以下に挙げる平行線と線分の比の関係を用います。

n4.jpg

これらは△APQ∽△ABCから導かれる線分比の関係式です。
今回の問題では△ABF∽△ADEに着目してこの関係式を用いてみましょう~akaname.gif

n2.jpg
n3.jpg


一瞬で答えが求められてしまいましたbouquet.gif



(1)別解1  △ABF∽△ECFに着目する

今度は△ABF∽△ECFに着目してみます。
BF:FCの比とBC=DEの関係式からBF:DEを求めますbuta.gif

n5.jpg
n6.jpg



(1)別解2  △CFG∽△DEG,△ADG∽△ECGに着目する

次はBF:DEを求めるためにまずFC:DEを求めようという発想で,
そのためにまず△ADG∽△ECG,次に△CFG∽△DEGから導かれる線分比の関係式を利用します

n7.jpg
n8.jpg




基本的な解法は大体こんなトコですかねー
続いては(2)です~cat_1.gif

△CFG∽△DEGを証明する問題です~
しかしながら,実は上にある(1)別解2の中で既に証明しちゃってますね~car2_tank.gif
これが一番やりやすくて分かりやすい証明の方法だと思います

せっかくなので,別の相似条件を用いた証明も挙げておくことにします

【証明2】
△ADGと△ECGにおいて,
∠AGD=∠EGC (対頂角)……
∠GAD=∠GEC (平行線の錯角)……
 , より,対応する2角がそれぞれ等しいので,△ADG∽△ECG
よってCG:DG=EC:AD=DB:AD=2:5…… 

また,(1)より BF:DE=3:5
BF+FC=BC=DEより,CF:DE=(5-3):5=2:5 ……

△CFGと△DEGにおいて,
∠FCG=∠EDG (平行線の錯角)……
 , , より
対応する2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので,
△CFG∽△DEG

【証明終わり】


【証明3】
△ADGと△ECGにおいて,
∠AGD=∠EGC (対頂角)……
∠GAD=∠GEC (平行線の錯角)……
 , より,対応する2角がそれぞれ等しいので,△ADG∽△ECG
よってCG:DG=EC:AD=DB:AD=2:5…… 

また,(1)より BF:DE=3:5
BF+FC=BC=DEより,CF:DE=(5-3):5=2:5 ……

さらに,△ABFと△ECFにおいて,
∠AFB=∠EFC (対頂角)……
∠BAF=∠CEF (平行線の錯角)……
 , より,対応する2角がそれぞれ等しいので,△ABF∽△ECF
よって,AF:EF=AB:EC=AB:DB=3:2

ここで,AF:FE:EG=3:2:xとおく。
(3+x):(2-x)=5:2
2(3+x)=5(2-x)
x=4/7

したがって,FG:GE=4/7:(2-4/7)=2:5……

△CFGと△DEGにおいて
 , , より,対応する3組の辺の比がそれぞれ等しいので,
△CFG∽△DEG

【証明終わり】



次回は(3)をやっていきます~dog_happy.gif





     
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