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2016年前期東大入試理系数学 第4問

2016.04.01 13:31|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期東大入試理系数学第4問をみてみます~

問題はこちら~ 算数mini


20164.jpg


複素数平面の単元の問題です~
今年は予想通り様々な大学でこの単元からの出題がされていますね。

問題文は至ってシンプルです。
それでいて様々なアプローチの方法があり,練習問題としてなかなか良いと思います。

l2_20160330190853cea.jpg


まず,この3点が三角形に3頂点になる条件から考えてみましょう。
この3点が同一直線上になければよいです。

 を満たす実数 k がなければいいです。
これを複素数を用いて表現すると,  を満たす実数 k がなければいいという
条件になります~ buta.gif




l1_20160330190853d8d.jpg


以下では z は実数ではないと仮定していきます~

ところで△ABCの3辺の長さはそれぞれ 
ですが,これらの値を  で割るとそれぞれ  になります。
つまり3辺の長さが  であるような三角形を考えると
それは元の△ABCと相似になる(「対応する3辺の比がそれぞれ等しい」)ので
△ABCの代わりにこちらの三角形が鋭角三角形になる条件を探れば十分ということになります~ kaeru_en1.gif

l3_20160330190854e04.jpg


ではその条件を探っていきましょう~
幾つかの方法を検討してみますが,まずはじめに以下に挙げる性質に着目する方針をみてみます~


l4_2016033019085472b.jpg


複素数に関する式変形は「z」の形のまま式変形する, z=x+yi とおいて x と y の間の関係式を求める,
極形式で表して変形する,といった複数の手法があります。
解法の多様性を生んではくれますが,逆にどの手法を選択すればいいのか分からないので複素数が苦手だという
受験生も多いです。
最初は「z」の形のまま式変形するパターンを使ってみます。
Re (z) で複素数 z の実部, Im (z) で z の虚部を表すものとします~



l5_20160330190855f2d.jpg



今度はこの計算を z=x+yi とおく方式でやってみます~
「図形と方程式」の問題に直せてしまうため複素数の取り扱いが苦手な人には向いています m_0052.gif




l6_2016033019085550d.jpg




今度は極形式を使ってみましょう~
極方程式の表す図形の翻訳に結局他の表示法の助けを借りることになってしまうこともあります。


l7_2016033019094941e.jpg


次は3辺の長さが  である三角形として, △OBD について考えてみます。
ただし, D(-1) とします~


∠O と ∠D が鋭角であるためにはBが -1<Re(z)<0 の範囲に存在していなくてはいけません。
∠B が鋭角であるためには,BがODを直径とする円の外部になければいけません。

l8_201603301909498af.jpg

l9_201603301909504c5.jpg

計算量が少なく,とても簡明ですね m_0146.gif



次は内積を用いたアプローチを考えてみます~
一般に零ベクトルでない2つのベクトル  のなす角 θ が鋭角であるということは



という内積の条件式でも記述できます m_0172.gif



l15_201603301910362a5.jpg




次は偏角の計算に着目する考察をしてみます~ rabi_happy.gif



l10_20160330190950326.jpg
l11_201603301909518e0.jpg


l12_201603301910346ac.jpg


様々な着眼点がありとても面白いですね~ tanuki.gif






   
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