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2016年前期東大入試理系数学 第5問

2016.04.14 05:05|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大前期入試の理系数学第5問を見ていきます~

問題はこちら~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

2016t5.jpg



ぱっと見だと,何だか難しそうであまり解く気が沸かないような問題に見えますが,
実はそれほど厄介な問題ではないというのが個人的な印象です~
でも,この大問はどうも難易の感じ方がとてもばらつきがあるようです。
人によってはものすごく難しく感じ,人によっては非常に簡単だったように感じられたようです。
攻めるべき方向が割と定まっているので,正しくそれを掴めた人にとっては簡単だったのだろうと思います。
また,(1)(2)はセット問題といえますが,(3)は関連しているようであまり関連していないという構造です。
(1)(2)が出来なくても(3)だけ独立に取り組むことも出来ます。


それでは眺めていきます~

 という小数を考えます~



を満たす自然数 n をすべて求めるのが(1)の設問です。
これは「  の整数部分が  で小数部分の第k位までが  であるような n を求める」問題です。

m1_20160413153357a7e.jpg

与えられた不等式を変形して n の取りうる値の範囲を表す不等式に直してみると良いでしょう~ w04.gif




m2_20160413153358316.jpg


m3_20160413153358459.jpg


m4_20160413153359c82.jpg



(2)も同様の方針で処理ができます~
 の整数部分が p で,小数部分の第 k 位までが  となるような m の存在を示す問題です~
やはり与えられた不等式を m の取りうる値の範囲を示す不等式に変形します。
その不等式を満たすような整数を具体的に見つけてみます~ taxi02.gif



m5_20160413153359074.jpg


m6_2016041315335908f.jpg

具体的に条件を満たす m を構成するというのではなくても,存在を示すだけなら次のような考え方も使えます。
例えば, 「 B-A>1 ならば A<m<B を満たす整数 m が存在する」 
ことがいえます。


m7_20160413153456acb.jpg




最後は(3)です~
(2)までの内容をを特に用いずに証明できます~

 の小数部分が   であるような自然数 s が存在しないことを示す問題です。
換言すると,「自然数 s の正の平方根は整数になるか無限小数になるかのどちらかである」ということです。

このような証明問題のアプローチとしては背理法がとても相性が良いです star-ani01.gif
平方数ではない s について考えていきましょう~
 のような表示を持つと仮定して矛盾を導きたいと思います~

 の両辺を2乗すると左辺は自然数 s になりますが,右辺は自然数にはならなそうです ramen(1).gif


m8_201604131534571de.jpg
m9_20160413153457ffe.jpg

s が平方数ではないとして,  のような表示を持つとすると,
右辺が有理数であることから  という形の表示も可能です。
ただし, x と y は互いに素な整数であり,特に x は x≠0,±1 です。
両辺を2乗することで,このような表示を持つと不合理であることを述べることが出来ます onpu10.gif

そのような方針で解答することも出来ます~

m10_20160414045247152.jpg

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コメント

凄すぎですね(笑)
解答見たらなんとか理解しましたどうもありがとうございます( ; ; )


場合分けで、最後にまとめるときとまとめないときあったりしますが、場合分けを答え最後にまとめるときってどんなときなんですかね、、、??(-_-)

混乱してつまずいてます。汗

No title

コメントありがとうございます~

場合分けが必要な問題で,最後にまとめるときかまとめないときがある。
確かにそうですね~

まとめるのは,敢えて分けて書く必要がなく,結論がくどくなってしまうときです~
「方程式 3|x-1|=x+3 を解け」という問題では,例えば x≧1 のときと x<1 のときに
場合分けして解いていき,「x≧1 のとき x=3, x<1 のとき x=0」という結論を得ます。
何も間違っていませんが,いま我々は単に方程式の解を知りたいだけなので,「x=0,3」とまとめる方が
結論がスッキリします。

まとめないのは,そもそもまとめて書けないときやまとめてしまうと情報不足になるときです~
「k を実数とするとき,方程式 k|x-1|=1 を解け」という問題では,
k の値について k>0 のときと k≦0 のときとで様相が変わってきます。
「k>0 のとき x=1±(1/k), k≦0 のとき解なし」という結論を得ます。
これは1つにまとめた「x=1±(1/k) または解なし」のみを答案に書くと
どんなとき前者でどんなとき後者か分かりません。k の値の範囲が本質的に前提として重要だからです。

答えをまとめるとき,これって結局もっとスッキリ書き表せないかな?
みたいなことを一旦立ち止まって吟味してみると良いのではないでしょうか。
あるいは様々な問題の答えのまとめ方を見て回って雰囲気を学んでみるのも良いと思います。
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