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2016年前期東大入試理系数学 第6問

2016.04.29 02:30|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東大前期入試の理系数学第6問をみてみます~

問題はこちら~ 箱ドットおにおん2mini


2016t6.jpg



大問3に続いて空間図形です~
見慣れない立体の体積を計算する部類の問題です~

線分の通過範囲というのはよくテーマとして選ばれるものですが,
xy 平面上で考えることが多いですね。
今回は xyz 空間上で考えます。

a1_20160427214826e28.jpg


長さ2の線分がCを通りながら位置を変えていくという状況ですが,
結局のところ出来上がる立体はz軸をを回転軸とした回転体になっていることに気づきたいです~ dog_happy.gif

そのため z 軸を含む平面と立体 K の共通部分は,平面の選び方によらずいつでも同じ図形になっています。
そこで平面 y=0 に的を絞って断面の図形について考察してみます~
つまり線分 AB が平面 y=0 上にあるときの通過範囲の図形です。
断面の図形の様子が分かってしまえば普段通りの回転体の体積の求積問題になってしまいますね。


a2_201604272148268ec.jpg


K と平面 y=0 の共通部分の図形を F とします~
F の z≧1 の部分は線分 BC の通過範囲に相当し,点 B の軌跡を境界に持つ閉領域です。
回転体の体積を求める場合は,回転軸に垂直な平面で切った時の断面積を積分する手法が
常套手段になっているので,例に漏れず平面 z=t との共通部分の形状を調べます hamster_2.gif
このとき, 1≦t≦2 の場合について考えていけばよいです~

a3_20160427214826413.jpg


  a6_20160427214828862.jpg


a7_2016042721490007f.jpg

P が G に含まれるための条件は AC≦AP≦AB が成り立つことです~

  a8_20160427214900afb.jpg
a9_20160427214901fbc.jpg


G と平面 z=t の共通部分を z 軸の周りに1回転させると半径  の円になるようですね。
(注:t=1 のときのみ1点 (0,0,1) のみになります)
あとは断面積の積分によって体積を求めるだけです~ kaeru_en4.gif



a10_20160427214901bf9.jpg


断面積の計算には三角比を活用することも有効です~
再び平面 y=0 に着目してみます~
∠ACO=θ とおいてみます。
θ が最小となるのはAが原点にあるときで  です。
最大になるのはBとCが一致するときで  です。
G と平面 z=t の共通部分上にPをとるとき,そのPに対応する線分ABおよび θ の値を考えることで
Pの座標が θ を用いて表すことが出来ます~
θ の取りうる値の範囲は t の値ごとに変動します。これを 0≦θ≦α とするとき,
回転体を平面 z=t で切ったときの断面積は α の関数として表されます


a11_201604272149026d5.jpg


というわけで先程の結果と一致しました。
ちなみに,この三角比を用いたアプローチに関連してですが,
r=BC とおくと, 
が成り立ちます。これがCを極としたときのBの軌跡の極方程式になるのですが,
この曲線はニコメデスのコンコイドと呼ばれているものであるようです~


ここまでは最初に平面 y=0 で切った断面の考察をするアプローチでしたが
はじめから回転体を平面 z=t で切った断面上の点Pが満たす不等式を求める方針も
決して困難ではありません。PがCとは異なるとき,Pが通過範囲に含まれるためには
直線CPが平面 z=0 と交わり,なおかつ AC≦AP≦AB が成り立てばよいです~


a12_201604272149026a4.jpg

a14_20160429011823102.jpg

以下ははじめの解答と同様です~


  
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