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組み分けの問題その1

2016.05.03 01:47|数学
どもども。

今回は場合の数の分野で頻出の組分けの問題について見てみます~ mini B83A1030-C961-4B4A-8DDD-1EC8045A3B90

組分けの問題とは,例えば次のような問題です:

問1:6人の生徒を2人,4人の2組に分ける方法は何通りあるか?

問2:6人の生徒を3人ずつA組,B組の2組に分ける方法は何通りあるか?

問3:6人の生徒を3人ずつの2組に分ける方法は何通りあるか?

問4:6人の生徒を2人ずつの3組に分ける方法は何通りあるか?

問5:6人の生徒を1人,1人,4人の3組に分ける方法は何通りあるか?

問6:6人の生徒を3人ずつの2組に分ける方法のうち,特定の2人が同じ組ならないようなものは何通りあるか?

問7:6人の生徒を1人,1人,4人の3組に分ける方法のうち,特定の2人が同じ組ならないようなものは何通りあるか?

問8:6人の生徒をA組,B組の2組に分ける方法は何通りあるか?

問9:6人の生徒を2組に分ける方法は何通りあるか?



基本的に人などの区別のつくものを様々な条件に従って組み分けしていく問題が該当します。
区別のつかないものを組み分けていく問題は重複組合せのカテゴリに分類されることが多いです~ eto_tora.gif

問:6個のみかんを3人に分配する方法は何通りあるか?

このようなタイプの問題ですね。
実際は1つ1つのみかんにも「こっちの方が大きいな」「こっちの方が甘そうだな」のような区別があるわけですが,
この手の数学の問題では見分けのつかないクローンのようなみかんを想定し,
誰に何個配るかという個数のみが考察対象とされます。
これに対し今回見ていく組分けの問題では区別のあるものを分けていくことになるので,
例えば「A組に3人」という分け方も,どの3人を入れるのかというので更に細かく分けてカウントしていかなくてはいけません。


まずは問1をいくつかの考え方で見てみます~

問1:6人の生徒を2人,4人の2組に分ける方法は何通りあるか?

最もオーソドックスな考え方はこうです~
「2人の組」に入れる2人の選び方が  通りあり,
その各々に対して「4人組」に入れる4人の選び方が  通りあるので,
積の法則より  (通り) が正解です~~ dolphin.gif
 の部分はしばしば省略されます。

この6人をa,b,c,d,e,fとしましょう~
「2人の組」をA組,「4人の組」をB組として,例えばaとdの2人がA組で残り4人がB組であるとき,
これを「ABBABB」という文字列に対応させることにすると,組分けの方法の総数は「ABBABB」のような,
「Aが2個,Bが4個あってそれらを1列に並べる順列の総数」と等しいことが分かります。
このことに着目することで,  (通り) と求めることも出来ます~

順列への対応としては次のような考え方もできます。
a,b,c,d,e,fの6人を1列に並べる順列を考えます。このとき,はじめの2人を「2人の組」に入れることにし,
後半4人を「4人の組」に入れることにします~
そうすると,例えば「ad bcef」という並び方は「da ecbf」「ad fcbe」「da cefb」などと同じ組み分け方を表すことになり,
6!=720(通り) として求めるとかなり重複カウントが起きていることになります~
そこで重複分を打ち消す操作を考えます。
結果的に同じ組み分けを表す順列が何通りあるのかを考えます。
上で挙げた「同じものを含む順列」の考え方に向かっていくことになるのですが,
「ad bcef」「da bcef」のように後半4つは共通なのに先頭2つの文字が入れ替わったものというのがあるので
全体を2で割ると前半2つの入れ替えによる重複は解消されます。
また,「ad bcef」「ad cbfe」のように後半4つについても並び方だけが異なるものがあり,4!=24(通り)出てくるので
更に全体を4!で割れば重複問題は解消されます。
結果として,(通り)が得られるわけです~

次は6人の中に自分がいるという目線でものを考える方法を挙げてみます。
自分は「2人の組」に入るときと「4人の組」に入るときがあります。
「2人の組」に入るとすると,もう1人同じ組になる相方を見つけさえすれば残った4人が「4人の組」に入るので
そのような組み分け方は相方の選び方を考えて  (通り) です。
「4人の組」に入るとすると,自分と同じ組に入る3人を選んでこなければなりません。
よって,そのような組み分け方は  (通り) です。
これらを足して,求める場合の数は 5+10=15(通り) となります~

変わり種としては,多項式の展開を利用した発想があります~

の展開を考えてみます~
この展開は6個の(A+B)のそれぞれからAかBかどちらか1個ずつ項を選んできて掛け合わせたものの和になりますね。
ここで,6個並んだ(A+B)を左から順にa,b,c,d,e,fの6人に対応させます。
「2人の組」をA組,「4人の組」をB組として,例えばaとdの2人がA組で残り4人がB組であるとき,その選び方を
1番目と4番目の(A+B)からはAを選び,残りの(A+B)からはBを選んだときに出来る項
A×B×B×A×B×B と対応させることを考えます。
そうすると,求めるべき場合の数は  の展開式における  の係数に一致します~
ニ項定理より,  (通り) が得られます~


問2:6人の生徒を3人ずつA組,B組の2組に分ける方法は何通りあるか?

問1とほとんど変わらないような問題のように見えますね。2人,4人ではなくて3人,3人になりました。
人数が変わっても考え方は一緒です。
オーソドックスにいくと,A組に入る3人の選び方を考えればいいので,  (通り) で解決です。
問1の2番目,3番目の方式に従うと, (通り) です。

4番目の方式に従うと,自分がA組にいる場合が  (通り) で,
B組にいる場合も  (通り) で,合わせて 10+10=20(通り)

5番目の方式でいくと,  の展開式における  の係数を見れば良いので,
 (通り) となります~


問3:6人の生徒を3人ずつの2組に分ける方法は何通りあるか?

これが問2と一体何が違うのかを理解することがまず重要です。
問3ではA組,B組のような区別がありません。
単に3人組に分けてくれという要求なんです~
例えば「A組:abc  B組:def」という分け方と「A組:def  B組:abc」という分け方は
問2では別カウントになっていました。
結局同じ3人どうしがグループになっているのだから,問3ではこの2つは同一のものとして考えます。
ということは問2の答えの20通りというのは,1つの分け方をちょうど2回ずつカウントしています~
このため,問3の答えは 20÷2=10(通り) になります~
したがって,組に区別がない問題が出てきたら,まずは組に区別を設けて場合の数を考え,
重複カウント分の補正を行えば良い
という教訓が得られます dog_shy.gif
これがオーソドックスな手法になっています。

ところで,問題文をよく見てみると問1もA組,B組のような組の区別がない問題になっています。
問1と問3の違いは何でしょうか。それは組み分ける人数です。
2人と4人に分ける場合,この2組は対等ではなく,「2人の組」と「4人の組」というラベル付けが自動的にされているので,
A組,B組のような組の区別が設けられているのと同等なのです。
問3の場合,「3人の組」と「3人の組」という互いに対等な組み分けをするため,
自動的にラベル付けがされているわけではないという違いがあることを意識しなければいけません~

ここで問1の4番目の解答方式に目を向けてみましょう~
つまり6人の中の1人が自分だという発想です。
この立場で考えてみると,自分と同じグループの2人を選ぶだけで3人ずつの組み分けが完了するため
 (通り) で問題が解けてしまいます~
重複カウントの問題が生じないため,その分だけ楽に解くことができます~ kaeru_en1.gif




問4:6人の生徒を2人ずつの3組に分ける方法は何通りあるか?

組にA組,B組,C組のような区別がなく,また組分け人数が3組とも2人であるためこれらは対等です。
まずは問3に倣ってA組,B組,C組の区別を設けてみます~
A組に入る2人の選び方は  通り,その各々に対してB組に入る2人の選び方が  通り,
残った2人が自動的にC組に入ります。
したがって,  (通り) となります。
ただ実際にはA組,B組,C組のような区別がないため,このままでは重複カウントが起きています~
ここで補正を行いますが,3組なので3で割ればいいという考え方は誤りなので注意が必要です。
例えば「A組:ab B組:cd C組:ef」,「A組:ab B組:ef C組:cd」,「A組:cd B組:ab C組:ef」,
「A組:cd B組:ef C組:ab」,「A組:ef B組:ab C組:cd」,「A組:ef B組:cd C組:ab」
という6つの組み分けは本来全て同じものとしてカウントしなければならないものです。
実は90通りというのは1つの分け方を6重カウントしているのです。
この6重というのは,「ab」,「cd」,「ef」の3つのかたまりを1列に並べる順列の総数として捉えることが出来ますね。
以上から,答えは 90÷3!=15(通り) ということになります~ m_0052.gif

順列方式でいくと,  (通り) として求められます~

自分がグループの一員だった方式で考えてみましょう~
はじめから組の区別はないものとして考えていきます。
まず自分とペアになる相方の選び方が  通りです。
その各々に対し,今度は残り4人のうち一番背の高い人の目線に立つと,
その人の相方の選び方が  通りあり,残った2人が3組目になります。
よって,  (通り) と求められます~
一番背の高い人が同立1位で複数いたら,一番体重のある人や一番生年月日が早い人などに置き換えると良いですね。

多項式の展開に着目すると  の展開式の  の係数として90を求めてから
3!で割ると良いです~






問5以降は次回に回すことにしましょう~ m_0051.gif



 








  
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